#### **Exercice 1**

1. **`function_1(tableau1, tableau2)`** :  
   Dans cette fonction, il y a deux boucles imbriquées : la première parcourt tous les éléments de `tableau1` (de taille \(n\)), et pour chaque élément, la deuxième boucle parcourt `tableau2` (de taille \(m\)).  
   Dans le pire des cas, si aucun élément ne correspond (ou si le `break` n'est jamais atteint), chaque élément de `tableau1` sera comparé à tous les éléments de `tableau2`.  
   Donc, la complexité de cette fonction est \( O(n \cdot m) \).

2. **`function_2(x)`** :  
   Ici, on a une boucle `while` qui s’exécute \(x\) fois. À chaque itération, on effectue une addition et une décrémentation, qui prennent toutes les deux un temps constant.  
   Du coup, la complexité est proportionnelle à \(x\), donc \( O(x) \).

3. **`function_3(x)`** :  
   Cette fonction contient uniquement des blocs `if` indépendants, qui s’exécutent chacun au maximum une seule fois. Il n’y a pas de boucle, donc chaque opération est constante.  
   La complexité est donc \( O(1) \), car c’est constant peu importe la valeur de \(x\).  

---

#### **Exercice 2**

Pour analyser la complexité de la fonction **`sort_students`**, on décompose chaque étape :

1. **Boucle externe sur les grades** :  
   La boucle externe parcourt tous les grades des étudiants, soit \( \text{grades\_number} \) itérations.

2. **Allocation dynamique des notes** :  
   L’allocation du tableau `grades` est faite avec `malloc`, qui est supposée avoir une complexité \( O(1) \). Cela n’affecte donc pas significativement la complexité globale.

3. **Copie des notes des étudiants** :  
   Dans la boucle interne :
   ```c
   for(j = 0; j < students_number; j++) {
       grades[j] = students_array[j][i];
   }
   ```
   on copie les notes des \( \text{students\_number} \) étudiants, ce qui prend \( O(\text{students\_number}) \) par itération de la boucle externe.

4. **Tri des notes avec `bubblesort`** :  
   La fonction `bubblesort` trie un tableau de taille \( \text{students\_number} \), avec une complexité \( O(\text{students\_number}^2) \).  

5. **Trouver le rang de chaque étudiant** :  
   Ensuite, dans cette boucle interne :
   ```c
   for(j = 0; j < students_number; j++) {
       students_rank[j][i] = find_rank_student(students_array[j][i], grades, students_number);
   }
   ```
   on appelle `find_rank_student` pour chaque étudiant. Cette fonction effectue :
   - Un tri par bulles \( O(\text{students\_number}^2) \),
   - Une recherche pour trouver le rang, qui prend \( O(\text{students\_number}) \).  

   Donc, chaque appel à `find_rank_student` a une complexité totale de \( O(\text{students\_number}^2) \), et cette fonction est appelée \( \text{students\_number} \) fois par itération de la boucle externe. Cela donne une complexité \( O(\text{students\_number}^3) \) par itération de la boucle externe.

6. **Libération de mémoire** :  
   Enfin, la mémoire allouée pour `grades` est libérée avec `free`, ce qui est une opération \( O(1) \).

### Complexité totale :
La boucle externe s’exécute \( \text{grades\_number} \) fois, et la partie la plus coûteuse de la boucle interne est \( O(\text{students\_number}^3) \). La complexité globale de la fonction est donc :  
\[
O(\text{grades\_number} \cdot \text{students\_number}^3)
\]

### Conclusion :  
La fonction **`sort_students`** a une complexité algorithmique de 
\[
O(\text{grades\_number} \cdot \text{students\_number}^3)
\]


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#### **Exercice 3**


### **Algorithme proposé**

1. **Tri des sous-dimensions** :  
   - Si on est sur un tableau 1D (le plus bas niveau), on le trie avec un tri par insertion.

2. **Calcul des sommes des sous-dimensions** :  
   - Pour chaque sous-tableau, on calcule la somme des valeurs pour s’en servir comme critère de tri.

3. **Tri des sous-dimensions par leurs sommes** :  
   - On trie les sous-dimensions avec un tri par insertion basé sur les sommes calculées.

4. **Répétition pour les autres dimensions** :  
   - On applique ces étapes de façon récursive à chaque niveau du tableau.



### **Implémentation**

Voici l'algorithme en Python :

```python
# Fonction pour trier un tableau 1D avec un tri par insertion
def insertion_sort(arr):
    for i in range(1, len(arr)):
        key = arr[i]
        j = i - 1
        # Déplacement des éléments plus grands que key
        while j >= 0 and arr[j] > key:
            arr[j + 1] = arr[j]
            j -= 1
        arr[j + 1] = key

# Fonction pour trier un tableau multidimensionnel récursivement
def recursive_sort(T):
    # Si c'est un tableau 1D, on le trie
    if not isinstance(T[0], list):
        insertion_sort(T)
        return T
    
    # Trier chaque sous-dimension
    for i in range(len(T)):
        T[i] = recursive_sort(T[i])
    
    # Calculer les sommes des sous-dimensions
    sums = [sum(sum(val) if isinstance(val, list) else val for val in sublist) for sublist in T]
    
    # Trier les sous-dimensions en fonction de leurs sommes
    for i in range(1, len(T)):
        key_sum = sums[i]
        key_sublist = T[i]
        j = i - 1
        while j >= 0 and sums[j] > key_sum:
            sums[j + 1] = sums[j]
            T[j + 1] = T[j]
            j -= 1
        sums[j + 1] = key_sum
        T[j + 1] = key_sublist

    return T

# Exemple avec un tableau 2D
tableau = [[0, 3, 2], [9, 4, 5], [4, 1, 3]]
resultat = recursive_sort(tableau)
print(resultat)  # Résultat attendu : [[0, 2, 3], [1, 3, 4], [4, 5, 9]]
```


### **Exemple d’exécution**

Prenons le tableau suivant :  
\[ [ [0, 3, 2], [9, 4, 5], [4, 1, 3] ] \]

1. **Trier chaque ligne** :  
   - Première ligne : \( [0, 3, 2] \rightarrow [0, 2, 3] \)  
   - Deuxième ligne : \( [9, 4, 5] \rightarrow [4, 5, 9] \)  
   - Troisième ligne : \( [4, 1, 3] \rightarrow [1, 3, 4] \)  
   \[
   [ [0, 2, 3], [4, 5, 9], [1, 3, 4] ]
   \]

2. **Calculer les sommes** :  
   - \( [0, 2, 3] \rightarrow 5 \)  
   - \( [4, 5, 9] \rightarrow 18 \)  
   - \( [1, 3, 4] \rightarrow 8 \)  

3. **Trier les lignes en fonction des sommes** :  
   \[
   [ [0, 2, 3], [1, 3, 4], [4, 5, 9] ]
   \]


### **Complexité**

#### Analyse :

1. **Tri des tableaux 1D** :  
   - Pour \( M \) éléments, le tri par insertion a une complexité de \( O(M^2) \).

2. **Tri des sous-tableaux (dimensions \( N > 1 \))** :  
   - Chaque sous-tableau contient \( M^{N-1} \) éléments. Trier ces sous-tableaux coûte \( O(M^{N-1} \cdot M^{N-1}) = O(M^{2(N-1)}) \).

3. **Calcul des sommes** :  
   - Calculer les sommes pour \( M^{N-1} \) sous-tableaux coûte \( O(M^N) \).

4. **Complexité totale** :  
   - L'algorithme s’applique de façon récursive sur \( N \) dimensions. La partie dominante vient du tri des sous-tableaux les plus grands :  
     \[
     T(N, M) = O(M^{2N-2})
     \]



### **Conclusion**

- - La complexité globale est 
     \[
     O(M^{2N-2})
     \]