Graphes/TP/TP2.md

TP Graphes 2 : Chemins et connexité 
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Le TP est prévu pour être fait en utilisant le codage des graphes à l'aide de matrices d'adjacence.

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Exercice 0 : Affichage
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***Question :***
Ecrire une fonction permettant d'afficher une matrice carrée (la taille de la matrice sera donnée en argument) :
```
void afficherMatrice(int **m,int taille);
```


**Question :**
Ecrire une fonction permettant d'afficher la matrice d'adjacence d'un graphe donné en argument :
```
void afficherAdjacence(graphe g);
```

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Exercice 1 : Chemins de longueur fixe
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La multiplication de matrices carrées se fait grâce à la fonction de prototype :
```
int** multiplicationMatriceCarre(int **a,int **b,int size);
  ```

Le code de la fonction est donné ci-dessous. Si vous le souhaitez, vous pouvez ignorer le code et faire la fonction vous-même.
```
int** multiplicationMatriceCarre(int **a,int **b,int size){
    int** res=calloc(size,sizeof(int*));
    int i,j,k;
  for(i=0;i<size;i++){
    res[i]=calloc(size,sizeof(int));
  }
  for(i=0;i<size;i++){
      for(j=0;j<size;j++){
        for(k=0;k<size;k++){
          res[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
        }
      }
  }
    return res;
}
```

**Question :**
En utilisant la multiplication de matrices carrées, créez une fonction renvoyant une matrice contenant les chemins d'une longueur donnée :
```
int** nombreDeChemins(graphe g,int longueur);
```

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Exercice 2 : Connexité
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Un graphe (orienté) est (fortement) connexe si pour toute paire de sommet (x,y), il existe un chemin de x à y.
De plus, s'il existe un chemin de x à y, alors il en existe un de longueur *au plus* n, où n est l'ordre du graphe.

**Question :**
Ecrire la fonction `int estConnexe(graphe g);` renvoyant  1 si le graphe est connexe, et 0 sinon. 
Indice : vous aurez besoin d'une fonction permettant d'additionner des matrices.

**Question :**
Testez votre fonction sur le graphe des frontières.
Créez un graphe similaire ayant en plus le Royaume-Uni. Vérifiez que ce graphe n'est pas connexe.


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Exercice 3 : Graphe Eulériens
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***Question***
En utilisant le théorème d'Euler,  écrire une fonction décidant si un graphe a un cycle eulérien.
Théorème d'Euler : 
Un graphe est eulérien si, et seulement si, il est connexe et tous ses sommets sont de degré pair.

Bonus : Comment adapter votre fonction pour décider si un graphe a un *chemin* eulérien

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Exercice 4 : Distance et diamètre.
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***Question***
Ecrire une fonction ```int** distances(graphe g);``` renvoyant une matrice dont le coefficient (i,j) contient la distance entre i et j.
Indice : Les sommets à distance 1 sont ceux qui sont adjacent (valeur 1 dans la matrice d'adjacence). 
De façon générale, un sommet x est à distance l d'un sommet y si il existe un chemin de longueur l mais aucun chemin de longueur l-1.

***Question***
Ecrire une fonction ```int diametre(graphe g)``` retournant le diamètre du graphe passé en paramètre.