#### **Exercice 1**

1. **`function_1(tableau1, tableau2)`** :  
   Dans cette fonction, il y a deux boucles imbriquées : la première parcourt tous les éléments de `tableau1` (de taille \(n\)), et pour chaque élément, la deuxième boucle parcourt `tableau2` (de taille \(m\)).  
   Dans le pire des cas, si aucun élément ne correspond (ou si le `break` n'est jamais atteint), chaque élément de `tableau1` sera comparé à tous les éléments de `tableau2`.  
   Donc, la complexité de cette fonction est \( O(n \cdot m) \).

2. **`function_2(x)`** :  
   Ici, on a une boucle `while` qui s’exécute \(x\) fois. À chaque itération, on effectue une addition et une décrémentation, qui prennent toutes les deux un temps constant.  
   Du coup, la complexité est proportionnelle à \(x\), donc \( O(x) \).

3. **`function_3(x)`** :  
   Cette fonction contient uniquement des blocs `if` indépendants, qui s’exécutent chacun au maximum une seule fois. Il n’y a pas de boucle, donc chaque opération est constante.  
   La complexité est donc \( O(1) \), car c’est constant peu importe la valeur de \(x\).  

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#### **Exercice 2**

Pour analyser la complexité de la fonction **`sort_students`**, on décompose chaque étape :

1. **Boucle externe sur les grades** :  
   La boucle externe parcourt tous les grades des étudiants, soit \( \text{grades\_number} \) itérations.

2. **Allocation dynamique des notes** :  
   L’allocation du tableau `grades` est faite avec `malloc`, qui est supposée avoir une complexité \( O(1) \). Cela n’affecte donc pas significativement la complexité globale.

3. **Copie des notes des étudiants** :  
   Dans la boucle interne :
   ```c
   for(j = 0; j < students_number; j++) {
       grades[j] = students_array[j][i];
   }
   ```
   on copie les notes des \( \text{students\_number} \) étudiants, ce qui prend \( O(\text{students\_number}) \) par itération de la boucle externe.

4. **Tri des notes avec `bubblesort`** :  
   La fonction `bubblesort` trie un tableau de taille \( \text{students\_number} \), avec une complexité \( O(\text{students\_number}^2) \).  

5. **Trouver le rang de chaque étudiant** :  
   Ensuite, dans cette boucle interne :
   ```c
   for(j = 0; j < students_number; j++) {
       students_rank[j][i] = find_rank_student(students_array[j][i], grades, students_number);
   }
   ```
   on appelle `find_rank_student` pour chaque étudiant. Cette fonction effectue :
   - Un tri par bulles \( O(\text{students\_number}^2) \),
   - Une recherche pour trouver le rang, qui prend \( O(\text{students\_number}) \).  

   Donc, chaque appel à `find_rank_student` a une complexité totale de \( O(\text{students\_number}^2) \), et cette fonction est appelée \( \text{students\_number} \) fois par itération de la boucle externe. Cela donne une complexité \( O(\text{students\_number}^3) \) par itération de la boucle externe.

6. **Libération de mémoire** :  
   Enfin, la mémoire allouée pour `grades` est libérée avec `free`, ce qui est une opération \( O(1) \).

### Complexité totale :
La boucle externe s’exécute \( \text{grades\_number} \) fois, et la partie la plus coûteuse de la boucle interne est \( O(\text{students\_number}^3) \). La complexité globale de la fonction est donc :  
\[
O(\text{grades\_number} \cdot \text{students\_number}^3)
\]

### Conclusion :  
La fonction **`sort_students`** a une complexité algorithmique de **\( O(\text{grades\_number} \cdot \text{students\_number}^3) \)**.

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#### **Exercice 3**

### **Algorithme proposé**

Pour trier un tableau à \( N \)-dimensions avec \( M \) valeurs par dimension, voici l'algo. 

#### Étapes de l’algorithme :

1. Si on est au niveau d’un tableau 1D (dimension la plus basse), on le trie directement.
2. Sinon :
   - Trier chaque sous-dimension récursivement.
   - Calculer la somme des valeurs de chaque sous-dimension.
   - Trier les sous-dimensions en fonction de leurs sommes.


### **Implémentation en Python**

Voici l’algorithme en code :

```python
def recursive_sort(T):
    # Si c'est un tableau 1D, on le trie directement
    if not isinstance(T[0], list):
        return sorted(T)
    
    # Sinon, on trie chaque sous-dimension récursivement
    for i in range(len(T)):
        T[i] = recursive_sort(T[i])
    
    # Puis on trie le tableau actuel selon la somme des sous-dimensions
    T.sort(key=lambda x: sum(sum(val) if isinstance(val, list) else val for val in x))
    return T

# Exemple avec un tableau 2D
tableau = [[0, 3, 2], [9, 4, 5], [4, 1, 3]]
resultat = recursive_sort(tableau)
print(resultat)  # Résultat attendu : [[0, 2, 3], [1, 3, 4], [4, 5, 9]]
```


### **Exemple d’exécution**

Pour le tableau donné :  
\[ [ [0, 3, 2], [9, 4, 5], [4, 1, 3] ] \]

1. **Trier chaque ligne individuellement** :  
   \[
   [ [0, 2, 3], [4, 5, 9], [1, 3, 4] ]
   \]

2. **Calculer la somme des valeurs pour chaque ligne** :  
   - Première ligne : \( 0 + 2 + 3 = 5 \)  
   - Deuxième ligne : \( 4 + 5 + 9 = 18 \)  
   - Troisième ligne : \( 1 + 3 + 4 = 8 \)  

3. **Trier les lignes en fonction de leurs sommes** :  
   \[
   [ [0, 2, 3], [1, 3, 4], [4, 5, 9] ]
   \]


### **Complexité de l’algorithme**

#### Analyse :

1. **Pour la dimension la plus basse (1D)** :  
   - Trier \( M \) éléments coûte \( O(M \log M) \).  

2. **Pour les dimensions supérieures (\( N > 1 \))** :  
   - Chaque dimension contient \( M^{N-1} \) sous-tableaux.
   - Trier ces sous-tableaux coûte \( O(M^{N-1} \log M^{N-1}) \).
   - Calculer les sommes pour ces sous-tableaux prend \( O(M^N) \).

3. **Récursivité sur \( N \) dimensions** :  
   - La complexité totale est donnée par la somme :  
     \[
     T(N, M) = O(M^N \log M + M^{N-1} \log M^{N-1} + \dots + M \log M)
     \]
   - La partie dominante est celle de la dimension principale :  
     \[
     T(N, M) = O(M^N \log M)
     \]


### **Conclusion**

- La complexité globale est `O(M^N log M)`.