ajout tp2 Newton

num/tp2/README.md

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+# TP2 Résolution d'équation $f(x)=0$
+On s'interesse à la résolution numérique d'une équation $f(x)=0$, où de manière équivalente à
+$g(x)=x$ avec $g(x)=f(x)+x$.
+
+## Newton
+### Principe de la méthode
+Elle consiste à remplacer progressivement une valeur $x_n$, proche de la solution $f(x)=0$,
+par une valeur $x_{n+1}$, plus proche de la solution, définie par :
+
+- on trace la tangente $T$ au graphe de $f$ au point $ (x_n,f(x_n))$
+- $x_{n+1}$ est l'abscisse du point d'intersection de $T$ avec l'axe des $x$. L'idée est d'approcher la solution de $f(x) = 0$ avec la solution de $T(x)=0$. 	
+<div align="center">
+<img src="./img/newton.png">
+</div>
+
+1. Montrer que la suite $ (x_n)$ est définie par la formule de récurrence 
+\[
+	x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
+\]
+
+2. on s'interesse au cas particulier $f(x)=x^2-2$. Montrer que la récurrence précédente devient (Méthode de Héron)
+\[
+	x_{n+1} = \frac{x_n+\frac{2}{x_n}}{2}
+\]
+3. Ecrire une fonction scilab
+   ```
+   --> function [x]=Heron(x0,n)
+	   // x0 <-> valeur initiale pour la suite
+	   // n <-> nombre d'itérations
+	   // x <-> valeur calculée
+   ```
+4. Comparer la vitesse de convergence avec la méthode dichotomique du tp1, en calculant l'erreur commise en fonction
+   du nombre d'itérations (on considère que la solution exacte est`sqrt(2)`).
+
+5. Vérifiez que la méthode est d'ordre 2 (ou pas), en calculant $\frac{|e_{i+1}|}{|e_i|}$.
+
+6. Ecrire une fonction scilab 
+   ```
+   --> function [x n]=newton(f,df,x0,eps)
+	   // f  <-> fonction 
+	   // df <-> fonction dérivée de f
+       // x0 <-> point de depart
+       // eps <-> precision 
+       // x <-> valeur calculée
+	   // n <-> nombre d'itérations necessaires
+   ```
+   Pour le test d'arrêt, on arrête le calcul dès que $|x_{n+1} - x_n |$ est plus petit que la précision souhaitée.
+   Évidemment `f` et `df` doivent être définies !
+
+   - Testez avec la fonction $f(x)= x - \cos x$
+   - Tester avec la fonction $f(x)=x^2 -2$
+   - Tester avec la fonction $\cos x - x^2$
+   - Trouver une valeur approchée de **toutes** les racines de la fonction $x^3-4x+1$ 
+
+6. Pour la fonction $\cos$ calculer la racine approchée pour les valeurs initiales $x_0=1,2,\ldots,10$, placer
+les valeurs initiales et les solutions sur le graphe de la fonction $\cos$ et commenter.
+
+7. Reprendre les questions précédentes en utlisant la fonction `fsolve` de scilab.
+
+