# TP3 : Statistiques descriptives. 

  **Régressions linéaires**

## Ex1
Charger les séries statistiques $X,Y$ du fichier [notes.csv](./data/notes.csv). Ces séries représentent
les notes des étudiants d'une même promotion à 2 épreuves différentes.

Ajustement linéaire de $Y$ en $X$ : $Y=aX+b$.

1. Afficher le nuage de points $X,Y$ avec la commande `plot2d`

   <div align="center"><img src="./img/img1.png"></div>

2. Calculer 
  $$ 
	   \overline{X},\overline{Y},\overline{XY},\overline{X^2}, \overline{Y^2}, Var(X), Var(Y), \sigma_{X,Y}
  $$
3. En déduire l'équation de la droite d'ajustement linéaire de $Y$ par rapport à $X$ :
   $$
	   a=\frac{\sigma_{X,Y}}{Var(X)}= \qquad b=\overline{Y}-a\overline{X}= \qquad \rho = \frac{\sigma_{X,Y}}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = 
	$$   
4. Vérifier vos calculs en utlisant la commande `reglin` de scilab 
   ```
   --> [a,b,sig] = reglin(X,Y)
   ```
   **Attention** `reglin` attend des vecteurs lignes.
5. Tracer la droite $y=ax+b$ sur le nuage de points.
6. Commenter la qualité de l'ajustement linéaire (justifier avec la valeur de $\rho$ ).

## Ex2
L'indice de réfraction d'un verre ($n=\frac{c}{v}$) se définit comme le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide ($c$) et dans 
le verre ($v$). Cet indice varie selon la longueur d'onde de la lumière $\lambda$ (sa couleur) suivant une loi 

$$
	n=A + \frac{B}{\lambda^2}
$$

On a mesuré $n$ pour différentes valeurs de $\lambda$ en  angström : 

<table>
<tr><th>couleur</th><th>jaune clair</th><th>jaune foncé</th><th>vert</th><th>bleu</th><th>violet</th></tr>
<tr><td>&lambda; </td><td>5790</td><td>5768</td><td>5461</td><td>4358</td><td>4046</td></tr>
<tr><td>n </td><td>1.6186</td><td>1.619</td><td>1.6219</td><td>1.6399</td><td>1.6492</td></tr>
</table>

1. Saisir dans scilab les séries $X=\frac{1}{\lambda^2}$ et $Y=n$ correspondant aux données.
2. Calculer l'ajustement linéaire de $Y$ en fonction de $X$ et en déduire les coefficients $A$ et $B$.
3. Commenter la qualité de cet ajustement.
4. Tracer sur un même graphique les données, et la loi donnant $n$ en fonction de $\lambda$.
4. Estimer la veleur de $n$ pour $\lambda = 4900$ et $\lambda=2800$.

## Ex3
On soupçonne que l'acidité d'un sol (ph) soit liée à la présence d'aluminium échangeable (qae) suivant la loi 

$$
	qae = k\times A^{ph}
$$

Pour vérifier cette hypothèse, on a mesuré le $ph$  et la quantité $qae$ d'aluminium échangeable (en p.p.m) en divers points du sol :

<table>
<tr><td>ph</td><td>4.2</td><td>4.4</td><td>4.8</td><td>5.1</td><td>5.4</td><td>5.6</td><td>6.2</td></tr>
<tr><td>qae</td><td>400</td><td>260</td><td>120</td><td>60</td><td>30</td><td>15</td><td>4</td></tr>
</table>

1. En utilisant un ajustement linéaire, estimer la valeur de $k$ et $A$.
2. Tracer sur un même graphique les données et la loi.
3. Estimer la quantité d'aluminium échangeable pour $ph=5$ et $ph=13$.


## Ex4

Perturbation aléatoire et coefficient de corrélation.

Si $Y=X$ l'ajustement linéaire de $Y$ en $X$ doit donner exactement $Y=X$ avec un
coefficent de corrélation $ \rho = 1 $. On veut étudier l'évolution de $ \rho $ au fur et à mesure qu'on ajoute à $X$ une perturbation aléatoire de plus en plus
grande. Pour chaque valeur de $e=0,0.2,0.5,1$ :

1. Générer les séries statistiques 
   ```
   --> X=rand(1,15);
   --> Y=X+e*rand(X);
   ```
2. Calculer $\rho$.
3. Calculer l'équation de la droite d'ajustement de $Y$ par rapport à $X$.
3. Calculer l'équation de la droite d'ajustement de $X$ par rapport à $Y$.
4. Afficher le nuage de points $(X,Y)$ et les deux droites d'ajustement linéaire.

Commenter l'évolution des résultats en fonction de la valeur de $e$.