# TP3 Résolution d'équation $f(x)=0$
On s'interesse à la résolution numérique d'une équation $f(x)=0$, où de manière équivalente à
$g(x)=x$ avec $g(x)=f(x)+x$.

## Newton
### Principe de la méthode
Elle consiste à remplacer progressivement une valeur $x_n$, proche de la solution $f(x)=0$,
par une valeur $x_{n+1}$, plus proche de la solution, définie par :

- on trace la tangente $T$ au graphe de $f$ au point $ (x_n,f(x_n))$
- $x_{n+1}$ est l'abscisse du point d'intersection de $T$ avec l'axe des $x$. L'idée est d'approcher la solution de $f(x) = 0$ avec la solution de $T(x)=0$. 	
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1. Montrer que la suite $ (x_n)$ est définie par la formule de récurrence 

$$
	x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$

2. On s'interesse au cas particulier $f(x)=x^2-2$. Montrer que la récurrence précédente devient (Méthode de Héron)

$$
	x_{n+1} = \frac{x_n+\frac{2}{x_n}}{2}
$$

3. Ecrire une fonction scilab
   ```
   --> function x = Heron(x0,n)
	   // x0 <-> valeur initiale pour la suite
	   // n <-> nombre d'itérations
	   // x <-> valeur calculée
   ```
4. Comparer la vitesse de convergence avec la méthode dichotomique du tp1, en calculant l'erreur commise en fonction
   du nombre d'itérations (on considère que la solution exacte est`sqrt(2)`).

5. Vérifiez que la méthode est d'ordre 2 (ou pas), en calculant $\frac{|e_{i+1}|}{|e_i|}$.

6. Ecrire une fonction scilab 
   ```
   --> function [x n]=newton(f,df,x0,eps)
	   // f  <-> fonction 
	   // df <-> fonction dérivée de f
       // x0 <-> point de depart
       // eps <-> precision 
       // x <-> valeur calculée
	   // n <-> nombre d'itérations necessaires
   ```
   Pour le test d'arrêt, on arrête le calcul dès que $|x_{n+1} - x_n |$ est plus petit que la précision souhaitée.
   Évidemment `f` et `df` doivent être définies !

   - Testez avec la fonction $f(x)= x - \cos x$
   - Tester avec la fonction $f(x)=x^2 -2$
   - Tester avec la fonction $\cos x - x^2$
   - Trouver une valeur approchée de **toutes** les racines de la fonction $x^3-4x+1$ 

6. Pour la fonction $\cos$ calculer la racine approchée pour les valeurs initiales $x_0=1,2,\ldots,10$, placer
les valeurs initiales et les solutions sur le graphe de la fonction $\cos$ et commenter.

7. Reprendre les questions précédentes en utlisant la fonction `fsolve` de scilab.