maths_2025/num/tp3

TP3 Résolution d'équation f(x)=0

On s'interesse à la résolution numérique d'une équation f(x)=0, où de manière équivalente à g(x)=x avec g(x)=f(x)+x.

Newton

Principe de la méthode

Elle consiste à remplacer progressivement une valeur x_n, proche de la solution f(x)=0, par une valeur x_{n+1}, plus proche de la solution, définie par :

• on trace la tangente T au graphe de f au point (x_n,f(x_n))
• x_{n+1} est l'abscisse du point d'intersection de T avec l'axe des x. L'idée est d'approcher la solution de f(x) = 0 avec la solution de T(x)=0.

1. Montrer que la suite (x_n) est définie par la formule de récurrence

	x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

2. On s'interesse au cas particulier f(x)=x^2-2. Montrer que la récurrence précédente devient (Méthode de Héron)

	x_{n+1} = \frac{x_n+\frac{2}{x_n}}{2}

3. Ecrire une fonction scilab

   --> function [x] = Heron(x0,n)
       // x0 <-> valeur initiale pour la suite
       // n <-> nombre d'itérations
       // x <-> valeur calculée
   

4. Comparer la vitesse de convergence avec la méthode dichotomique du tp1, en calculant l'erreur commise en fonction du nombre d'itérations (on considère que la solution exacte estsqrt(2)).

5. Vérifiez que la méthode est d'ordre 2 (ou pas), en calculant \frac{|e_{i+1}|}{|e_i|}.

6. Ecrire une fonction scilab

   --> function [x n]=newton(f,df,x0,eps)
       // f  <-> fonction 
       // df <-> fonction dérivée de f
       // x0 <-> point de depart
       // eps <-> precision 
       // x <-> valeur calculée
       // n <-> nombre d'itérations necessaires
   

   Pour le test d'arrêt, on arrête le calcul dès que |x_{n+1} - x_n | est plus petit que la précision souhaitée. Évidemment f et df doivent être définies !

   • Testez avec la fonction f(x)= x - \cos x
   • Tester avec la fonction f(x)=x^2 -2
   • Tester avec la fonction \cos x - x^2
   • Trouver une valeur approchée de toutes les racines de la fonction x^3-4x+1

7. Pour la fonction \cos calculer la racine approchée pour les valeurs initiales x_0=1,2,\ldots,10, placer les valeurs initiales et les solutions sur le graphe de la fonction \cos et commenter.

8. Reprendre les questions précédentes en utlisant la fonction fsolve de scilab.