maths_2025/stats/tp/tp3

TP3 : Statistiques descriptives.

Régressions linéaires

Ex1

Charger les séries statistiques X,Y du fichier notes.csv. Ces séries représentent les notes des étudiants d'une même promotion à 2 épreuves différentes.

Ajustement linéaire de Y en X : Y=aX+b.

1. Afficher le nuage de points X,Y avec la commande plot2d

   

2. Calculer

 
  \overline{X},\overline{Y},\overline{XY},\overline{X^2}, \overline{Y^2}, Var(X), Var(Y), \sigma_{X,Y}

3. En déduire l'équation de la droite d'ajustement linéaire de Y par rapport à X :

   
       a=\frac{\sigma_{X,Y}}{Var(X)}= \qquad b=\overline{Y}-a\overline{X}= \qquad \rho = \frac{\sigma_{X,Y}}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = 
   

4. Vérifier vos calculs en utlisant la commande reglin de scilab

   --> [a,b,sig] = reglin(X,Y)
   

   Attention reglin attend des vecteurs lignes.
5. Tracer la droite y=ax+b sur le nuage de points.
6. Commenter la qualité de l'ajustement linéaire (justifier avec la valeur de \rho ).

Ex2

L'indice de réfraction d'un verre (n=\frac{c}{v}) se définit comme le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide (c) et dans le verre (v). Cet indice varie selon la longueur d'onde de la lumière \lambda (sa couleur) suivant une loi

	n=A + \frac{B}{\lambda^2}

On a mesuré n pour différentes valeurs de \lambda en angström :

couleur	jaune clair	jaune foncé	vert	bleu	violet
λ	5790	5768	5461	4358	4046
n	1.6186	1.619	1.6219	1.6399	1.6492

1. Saisir dans scilab les séries X=\frac{1}{\lambda^2} et Y=n correspondant aux données.
2. Calculer l'ajustement linéaire de Y en fonction de X et en déduire les coefficients A et B.
3. Commenter la qualité de cet ajustement.
4. Tracer sur un même graphique les données, et la loi donnant n en fonction de \lambda.
5. Estimer la veleur de n pour \lambda = 4900 et \lambda=2800.

Ex3

On soupçonne que l'acidité d'un sol (ph) soit liée à la présence d'aluminium échangeable (qae) suivant la loi

	qae = k\times A^{ph}

Pour vérifier cette hypothèse, on a mesuré le ph et la quantité qae d'aluminium échangeable (en p.p.m) en divers points du sol :

ph	4.2	4.4	4.8	5.1	5.4	5.6	6.2
qae	400	260	120	60	30	15	4

1. En utilisant un ajustement linéaire, estimer la valeur de k et A.
2. Tracer sur un même graphique les données et la loi.
3. Estimer la quantité d'aluminium échangeable pour ph=5 et ph=13.

Ex4

Perturbation aléatoire et coefficient de corrélation.

Si Y=X l'ajustement linéaire de Y en X doit donner exactement Y=X avec un coefficent de corrélation \rho = 1. On veut étudier l'évolution de \rho au fur et à mesure qu'on ajoute à X une perturbation aléatoire de plus en plus grande. Pour chaque valeur de e=0,0.2,0.5,1 :

1. Générer les séries statistiques

   --> X=rand(1,15);
   --> Y=X+e*rand(X);
   

2. Calculer \rho.
3. Calculer l'équation de la droite d'ajustement de Y par rapport à X.
4. Calculer l'équation de la droite d'ajustement de X par rapport à Y.
5. Afficher le nuage de points (X,Y) et les deux droites d'ajustement linéaire.

Commenter l'évolution des résultats en fonction de la valeur de e.