maths_2025/num/tp1

Fonctions et dérivées numériques

Lisez et testez les exemples du guide pour débutant de scilab

Ex1 : dérivation numérique

La dérivée d'une fonction est définie par la limite

	f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

ce qui signifie que pour h assez petit

		f'(x)\approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

1. Vérifier numériquement l’affirmation précédente avec f(x) = x^2, x = 1 et h = 0.01.
2. Ecrire une fonction scilab y=derive(x,f) qui pour un tableau à 1 dimension x renvoi un tableau de même taille y tel que y(i) \approx f^{'}(x(i)) avec h = 10^{-8}.
3. Vérifier graphiquement avec la fonction f(x)=x^2 sur l'intervalle I=[-2,2]

Ex2 : tracé de tangentes

1. Écrire une fonction scilab trace_tangente(f,x0,x) qui trace la tangente au graphe de f au point x_0 dans la fenêtre courante (le découpage de l’intervalle des x étant donné dans la variable x). Indication : On utilisera une dérivation numérique pour évaluer f^{′}(x0)
2. Vérifier graphiquement avec la fonction f(x) = x^2 et le point x_0 = 1 (faire le tracé sur l’intervalle I = [−2; 2]).
3. Ajouter un printf dans le code de la fonction trace_tangente(f,x0,x) pour afficher l’équation de la tangente dans la console. Tracer les graphes des fonctions f(x)suivantes sur l’intervalle I. Combien y a-t-il de solutions x ∈I `a l’´equation f(x) = 0. Retrouver si possible leur valeur exacte.