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TP Graphes 2 : Chemins et connexité
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Le TP est prévu pour être fait en utilisant le codage des graphes à l'aide de matrices d'adjacence.
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Exercice 0 : Affichage
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***Question :***
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Ecrire une fonction permettant d'afficher une matrice carrée (la taille de la matrice sera donnée en argument) :
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void afficherMatrice(int **m,int taille);
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**Question :**
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Ecrire une fonction permettant d'afficher la matrice d'adjacence d'un graphe donné en argument :
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void afficherAdjacence(graphe g);
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```
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Exercice 1 : Chemins de longueur fixe
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La multiplication de matrices carrées se fait grâce à la fonction de prototype :
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int** multiplicationMatriceCarre(int **a,int **b,int size);
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```
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Le code de la fonction est donné ci-dessous. Si vous le souhaitez, vous pouvez ignorer le code et faire la fonction vous-même.
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int** multiplicationMatriceCarre(int **a,int **b,int size){
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int** res=calloc(size,sizeof(int*));
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int i,j,k;
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for(i=0;i<size;i++){
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res[i]=calloc(size,sizeof(int));
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}
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for(i=0;i<size;i++){
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for(j=0;j<size;j++){
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for(k=0;k<size;k++){
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res[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
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}
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}
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}
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return res;
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}
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**Question :**
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En utilisant la multiplication de matrices carrées, créez une fonction renvoyant une matrice contenant les chemins d'une longueur donnée :
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int** nombreDeChemins(graphe g,int longueur);
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Exercice 2 : Connexité
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Un graphe (orienté) est (fortement) connexe si pour toute paire de sommet (x,y), il existe un chemin de x à y.
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De plus, s'il existe un chemin de x à y, alors il en existe un de longueur *au plus* n, où n est l'ordre du graphe.
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**Question :**
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Ecrire la fonction `int estConnexe(graphe g);` renvoyant 1 si le graphe est connexe, et 0 sinon.
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Indice : vous aurez besoin d'une fonction permettant d'additionner des matrices.
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**Question :**
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Testez votre fonction sur le graphe des frontières.
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Créez un graphe similaire ayant en plus le Royaume-Uni. Vérifiez que ce graphe n'est pas connexe.
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Exercice 3 : Graphe Eulériens
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***Question***
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En utilisant le théorème d'Euler, écrire une fonction décidant si un graphe a un cycle eulérien.
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Théorème d'Euler :
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Un graphe est eulérien si, et seulement si, il est connexe et tous ses sommets sont de degré pair.
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Bonus : Comment adapter votre fonction pour décider si un graphe a un *chemin* eulérien
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Exercice 4 : Distance et diamètre.
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***Question***
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Ecrire une fonction ```int** distances(graphe g);``` renvoyant une matrice dont le coefficient (i,j) contient la distance entre i et j.
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Indice : Les sommets à distance 1 sont ceux qui sont adjacent (valeur 1 dans la matrice d'adjacence).
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De façon générale, un sommet x est à distance l d'un sommet y si il existe un chemin de longueur l mais aucun chemin de longueur l-1.
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***Question***
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Ecrire une fonction ```int diametre(graphe g)``` retournant le diamètre du graphe passé en paramètre. |