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TP Graphes 2 : Chemins et connexité
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Le TP est prévu pour être fait en utilisant le codage des graphes à l'aide de matrices d'adjacence.
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Les classes Graphe et MatriceCarre contiennent le résultat du TP1 en code java et servira de base aux TPs suivants.
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La classe JGraphe contient une classe JComponent permettant d'afficher un graphe avec la méthode `affiche()`. Un exemple d'utilisation est donné dans la classe TestGraphe.java.
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Exercice 1 : Chemins de longueur fixe
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La multiplication de matrices carrées se fait grâce à la fonction de prototype :
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MatriceCarre multiplicationMatriceCarre(MatriceCarre a);
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```
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Le code de la fonction est donné ci-dessous. Si vous le souhaitez, vous pouvez ignorer le code et faire la fonction vous-même.
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```
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public MatriceCarre multiplication(MatriceCarre a){
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if(this.n!=a.n)
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throw new IllegalArgumentException("multiplication de matrices de tailles différentes");
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MatriceCarre res=new MatriceCarre(this.n);
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int i,j,k;
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for(i=0;i<this.n;i++){
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for(j=0;j<this.n;j++){
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for(k=0;k<this.n;k++){
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res.m[i][j]+=this.m[i][k]*a.m[k][j];
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}
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}
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}
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return res;
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}
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**Question :**
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En utilisant la multiplication de matrices carrées, créez une fonction renvoyant une matrice contenant les chemins d'une longueur donnée :
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public MatriceCarre nombreDeChemins(int longueur);
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```
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Exercice 2 : Connexité
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Un graphe (orienté) est (fortement) connexe si pour toute paire de sommet (x,y), il existe un chemin de x à y.
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De plus, s'il existe un chemin de x à y, alors il en existe un de longueur *au plus* n, où n est l'ordre du graphe.
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**Question :**
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Ecrire la fonction `public boolean estConnexe();` renvoyant true si le graphe est connexe, et false sinon.
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Indice : vous aurez besoin d'une fonction permettant d'additionner des matrices.
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**Question :**
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Testez votre fonction sur le graphe des frontières.
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Créez un graphe similaire ayant en plus le Royaume-Uni. Vérifiez que ce graphe n'est pas connexe.
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Exercice 3 : Graphe Eulériens
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***Question***
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En utilisant le théorème d'Euler, écrire une fonction décidant si un graphe a un cycle eulérien.
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Théorème d'Euler :
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Un graphe est eulérien si, et seulement si, il est connexe et tous ses sommets sont de degré pair.
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Bonus : Comment adapter votre fonction pour décider si un graphe a un *chemin* eulérien
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Exercice 4 : Distance et diamètre.
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***Question***
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Ecrire une fonction ```public MatriceCarre distances();``` renvoyant une matrice dont le coefficient (i,j) contient la distance entre i et j.
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Indice : Les sommets à distance 1 sont ceux qui sont adjacent (valeur 1 dans la matrice d'adjacence).
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De façon générale, un sommet x est à distance l d'un sommet y si il existe un chemin de longueur l mais aucun chemin de longueur l-1.
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***Question***
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Ecrire une fonction ```public int diametre()``` retournant le diamètre d'un graphe. |