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+#### **Exercice 1**
+
+1. **`function_1(tableau1, tableau2)`** :  
+   Dans cette fonction, il y a deux boucles imbriquées : la première parcourt tous les éléments de `tableau1` (de taille \(n\)), et pour chaque élément, la deuxième boucle parcourt `tableau2` (de taille \(m\)).  
+   Dans le pire des cas, si aucun élément ne correspond (ou si le `break` n'est jamais atteint), chaque élément de `tableau1` sera comparé à tous les éléments de `tableau2`.  
+   Donc, la complexité de cette fonction est \( O(n \cdot m) \).
+
+2. **`function_2(x)`** :  
+   Ici, on a une boucle `while` qui s’exécute \(x\) fois. À chaque itération, on effectue une addition et une décrémentation, qui prennent toutes les deux un temps constant.  
+   Du coup, la complexité est proportionnelle à \(x\), donc \( O(x) \).
+
+3. **`function_3(x)`** :  
+   Cette fonction contient uniquement des blocs `if` indépendants, qui s’exécutent chacun au maximum une seule fois. Il n’y a pas de boucle, donc chaque opération est constante.  
+   La complexité est donc \( O(1) \), car c’est constant peu importe la valeur de \(x\).  
+
+---
+
+#### **Exercice 2**
+
+Pour analyser la complexité de la fonction **`sort_students`**, on décompose chaque étape :
+
+1. **Boucle externe sur les grades** :  
+   La boucle externe parcourt tous les grades des étudiants, soit \( \text{grades\_number} \) itérations.
+
+2. **Allocation dynamique des notes** :  
+   L’allocation du tableau `grades` est faite avec `malloc`, qui est supposée avoir une complexité \( O(1) \). Cela n’affecte donc pas significativement la complexité globale.
+
+3. **Copie des notes des étudiants** :  
+   Dans la boucle interne :
+   ```c
+   for(j = 0; j < students_number; j++) {
+       grades[j] = students_array[j][i];
+   }
+   ```
+   on copie les notes des \( \text{students\_number} \) étudiants, ce qui prend \( O(\text{students\_number}) \) par itération de la boucle externe.
+
+4. **Tri des notes avec `bubblesort`** :  
+   La fonction `bubblesort` trie un tableau de taille \( \text{students\_number} \), avec une complexité \( O(\text{students\_number}^2) \).  
+
+5. **Trouver le rang de chaque étudiant** :  
+   Ensuite, dans cette boucle interne :
+   ```c
+   for(j = 0; j < students_number; j++) {
+       students_rank[j][i] = find_rank_student(students_array[j][i], grades, students_number);
+   }
+   ```
+   on appelle `find_rank_student` pour chaque étudiant. Cette fonction effectue :
+   - Un tri par bulles \( O(\text{students\_number}^2) \),
+   - Une recherche pour trouver le rang, qui prend \( O(\text{students\_number}) \).  
+
+   Donc, chaque appel à `find_rank_student` a une complexité totale de \( O(\text{students\_number}^2) \), et cette fonction est appelée \( \text{students\_number} \) fois par itération de la boucle externe. Cela donne une complexité \( O(\text{students\_number}^3) \) par itération de la boucle externe.
+
+6. **Libération de mémoire** :  
+   Enfin, la mémoire allouée pour `grades` est libérée avec `free`, ce qui est une opération \( O(1) \).
+
+### Complexité totale :
+La boucle externe s’exécute \( \text{grades\_number} \) fois, et la partie la plus coûteuse de la boucle interne est \( O(\text{students\_number}^3) \). La complexité globale de la fonction est donc :  
+\[
+O(\text{grades\_number} \cdot \text{students\_number}^3)
+\]
+
+### Conclusion :  
+La fonction **`sort_students`** a une complexité algorithmique de 
+\[
+O(\text{grades\_number} \cdot \text{students\_number}^3)
+\]
+
+
+---
+
+
+#### **Exercice 3**
+
+
+### **Algorithme proposé**
+
+1. **Tri des sous-dimensions** :  
+   - Si on est sur un tableau 1D (le plus bas niveau), on le trie avec un tri par insertion.
+
+2. **Calcul des sommes des sous-dimensions** :  
+   - Pour chaque sous-tableau, on calcule la somme des valeurs pour s’en servir comme critère de tri.
+
+3. **Tri des sous-dimensions par leurs sommes** :  
+   - On trie les sous-dimensions avec un tri par insertion basé sur les sommes calculées.
+
+4. **Répétition pour les autres dimensions** :  
+   - On applique ces étapes de façon récursive à chaque niveau du tableau.
+
+
+
+### **Implémentation**
+
+Voici l'algorithme en Python :
+
+```python
+# Fonction pour trier un tableau 1D avec un tri par insertion
+def insertion_sort(arr):
+    for i in range(1, len(arr)):
+        key = arr[i]
+        j = i - 1
+        # Déplacement des éléments plus grands que key
+        while j >= 0 and arr[j] > key:
+            arr[j + 1] = arr[j]
+            j -= 1
+        arr[j + 1] = key
+
+# Fonction pour trier un tableau multidimensionnel récursivement
+def recursive_sort(T):
+    # Si c'est un tableau 1D, on le trie
+    if not isinstance(T[0], list):
+        insertion_sort(T)
+        return T
+    
+    # Trier chaque sous-dimension
+    for i in range(len(T)):
+        T[i] = recursive_sort(T[i])
+    
+    # Calculer les sommes des sous-dimensions
+    sums = [sum(sum(val) if isinstance(val, list) else val for val in sublist) for sublist in T]
+    
+    # Trier les sous-dimensions en fonction de leurs sommes
+    for i in range(1, len(T)):
+        key_sum = sums[i]
+        key_sublist = T[i]
+        j = i - 1
+        while j >= 0 and sums[j] > key_sum:
+            sums[j + 1] = sums[j]
+            T[j + 1] = T[j]
+            j -= 1
+        sums[j + 1] = key_sum
+        T[j + 1] = key_sublist
+
+    return T
+
+# Exemple avec un tableau 2D
+tableau = [[0, 3, 2], [9, 4, 5], [4, 1, 3]]
+resultat = recursive_sort(tableau)
+print(resultat)  # Résultat attendu : [[0, 2, 3], [1, 3, 4], [4, 5, 9]]
+```
+
+
+### **Exemple d’exécution**
+
+Prenons le tableau suivant :  
+\[ [ [0, 3, 2], [9, 4, 5], [4, 1, 3] ] \]
+
+1. **Trier chaque ligne** :  
+   - Première ligne : \( [0, 3, 2] \rightarrow [0, 2, 3] \)  
+   - Deuxième ligne : \( [9, 4, 5] \rightarrow [4, 5, 9] \)  
+   - Troisième ligne : \( [4, 1, 3] \rightarrow [1, 3, 4] \)  
+   \[
+   [ [0, 2, 3], [4, 5, 9], [1, 3, 4] ]
+   \]
+
+2. **Calculer les sommes** :  
+   - \( [0, 2, 3] \rightarrow 5 \)  
+   - \( [4, 5, 9] \rightarrow 18 \)  
+   - \( [1, 3, 4] \rightarrow 8 \)  
+
+3. **Trier les lignes en fonction des sommes** :  
+   \[
+   [ [0, 2, 3], [1, 3, 4], [4, 5, 9] ]
+   \]
+
+
+### **Complexité**
+
+#### Analyse :
+
+1. **Tri des tableaux 1D** :  
+   - Pour \( M \) éléments, le tri par insertion a une complexité de \( O(M^2) \).
+
+2. **Tri des sous-tableaux (dimensions \( N > 1 \))** :  
+   - Chaque sous-tableau contient \( M^{N-1} \) éléments. Trier ces sous-tableaux coûte \( O(M^{N-1} \cdot M^{N-1}) = O(M^{2(N-1)}) \).
+
+3. **Calcul des sommes** :  
+   - Calculer les sommes pour \( M^{N-1} \) sous-tableaux coûte \( O(M^N) \).
+
+4. **Complexité totale** :  
+   - L'algorithme s’applique de façon récursive sur \( N \) dimensions. La partie dominante vient du tri des sous-tableaux les plus grands :  
+     \[
+     T(N, M) = O(M^{2N-2})
+     \]
+
+
+
+### **Conclusion**
+
+- - La complexité globale est 
+     \[
+     O(M^{2N-2})
+     \]