tp2

num/tp1/README.md

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-# Fonctions et dérivées numériques
+# TP1 : Fonctions et dérivées numériques
 
 > Lisez et testez les exemples du [guide pour débutant](../../scilab/Scilab_debutant_annot.pdf)  de scilab
 

num/tp2/README.md

@@ -0,0 +1,142 @@
+# TP1 Calcul approché, résolution d'équation $f(x)=0$
+On s'interesse à la résolution numérique d'une équation $f(x)=0$, où de manière équivalente à
+$g(x)=x$ avec $g(x)=f(x)+x$.
+
+## Méthode du point fixe
+On cherche à résoudre l'équation
+\[
+	x - \cos x = 0, \,\, x\in [0,1]
+\]
+
+Sous certaines hypothèses (cf TD), la suite définie par 
+\[
+	\left\{\begin{array}{l}
+x_0\in I \\
+x_{n+1} = g(x_n)
+\end{array}\right.
+\]
+converge vers un point fixe de $g$. Ici, $g(x) = \cos x\,\, , \,x\in [0,1]$.
+
+1. Récupérez le fichier [pointFixe.sci](src/pointFixe.sci)  définissant la fonction 
+  ```
+  function  y = pointFixe(x0,n)
+	y = x0;
+	for i = 1:n
+	  y = ...
+	end
+  endfunction
+  ```
+
+  Cette fonction prend en entrée `x0` une valeur initiale de la suite et `n` le nombre d'itérations.
+  La fonction doit retourner `y` valant $x_n$.  
+  
+  Complétez le fichier, chargez la fonction, et vérifiez pour différentes valeurs 
+  initiales de $[0,1]$ que la suite converge vers le même $l = \cos l$. Que vaut $l$ ? Normalement, 
+  $l \approx 0.739085133215161$.
+
+2. Récupérez le fichier [pointFixeErreur.sci](src/pointFixeErreur.sci)  définissant la fonction
+
+```
+function  err = pointFixeErreur(x0)
+	for i=1:50
+	  y = pointFixe(x0,i)
+	  err(i) = ...
+	end
+endfunction
+```
+Cette fonction prend en entrée `x0` une valeur initiale de la suite. Complétez la fonction pour que `err(i)` vale
+$|e_i|$ l'erreur commise à l'étape $i$, en valeur absolue.
+
+3. Tracez l'évolution de l'erreur :
+```
+erreur = pointFixeErreur(0.1)
+plot2d(erreur)
+```
+
+3. Récupérez le fichier [pointFixeVitesseConvergence.sci](src/pointFixeVitesseConvergence.sci) qui définit la fonction
+```
+function  ratio = pointFixeVitesseConvergence(x0)
+	err = pointFixeErreur(x0);
+	ratio = // TODO
+endfunction
+```
+
+Cette fonction prend en entrée `x0` une valeur initiale de la suite. Complétez le fichier pour que `ratio(i)` vale
+$\frac{|e_{i+1}|}{|e_i|}$.
+
+
+Chargez la fonction, et tracez le résultat. Vérifie-t'on que la méthode est d'ordre 1 ?
+
+
+## Dichotomie
+### Principe de la méthode
+On se donne une fonction continue $f$ sur l'intervalle $[a,b]$ sur lequel $f$
+ne s'annule qu'une fois en changeant de signe.
+
+Pour trouver la solution, on divise l'intervalle $[a,b]$ en deux avec son milieu
+\[
+	m=\frac{a+b}{2}
+\]
+
+Si $f(a)$ et $f(m)$ sont de même signe, la solution cherchée se trouve dans $[m,b]$, sinon 
+elle se trouve dans $[a,m]$.
+
+On itére alors la recherche dans le nouvel intervalle jusqu'à ce que sa longueur soit inférieur à une précision $\epsilon$ voulue.
+
+<div align="center">
+<img src="./img/Dichotomie.png">
+</div>
+
+1. Écrire une fonction  
+   ```
+    function x = dichotomie(f,a,b,eps)
+    // f <-> fonction
+    // a,b <-> [a,b] intervalle de départ
+    // eps <-> valeur pour le test d'arret
+	// x <-> valeur approché de f(x)=0
+   ```
+2. Tester avec 
+   - la fonction de l'exercice précédent,
+   - $f(x)=x^2-2$ sur l'intervalle $[1,2]$. Comparer numériquement la solution approchée avec 
+     la solution exacte, en faisant varier $\epsilon$.
+   - $g(x)=cos(x)-x^2$ sur l'intervalle $[0,1]$
+3. Modifier la fonction pour qu'elle renvoié le nombre d'itérations nécessaires. Tester avec
+\[
+  x-\sin x - \frac{1}{4} = 0, \;\;x\in[\frac{1}{4},\frac{5}{4}]
+\]
+
+Aide Scilab
+[function](https://help.scilab.org/docs/6.1.1/fr_FR/functions.html)
+[if](https://help.scilab.org/docs/6.1.1/fr_FR/if.html)
+[while](https://help.scilab.org/docs/6.1.1/fr_FR/while.html)
+[for](https://help.scilab.org/docs/6.1.1/fr_FR/for.html)
+
+
+## Méthode de la fausse position
+### Principe de la méthode
+On prend les même hypothèses que pour la dichotomie. La méthode consiste alors à diminuer l'intervalle
+de recherche en considérant le point $c$ intersection de la corde aux extrémités de l'intervalle avec 
+l'axe des abscisses.
+
+<div align="center">
+<img src="./img/Regula_falsi_method.png">
+</div>
+
+1. Calculer $c$ en fonction de $f(a),f(b),a,b$
+2. Écrire une fonction 
+   ```
+   --> function [x,n]=fausse_position(f,a,b,eps)
+   // f <-> fonction
+   // a,b <-> [a,b] intervalle de départ
+    // eps <-> valeur pour le test d'arret
+	// x <-> valeur approché de f(x)=0
+	// n <-> nombre d'itérations
+   ```
+4. Tester avec 
+\[
+  x-\sin x - \frac{1}{4} = 0, \;\;x\in[\frac{1}{4},\frac{5}{4}]
+ \]
+
+
+
+

num/tp2/src/pointFixe.sci

@@ -0,0 +1,6 @@
+function  y = pointFixe(x0,n)
+	y = x0;
+	for i = 1:n
+		y = // A completer 
+	end
+endfunction

num/tp2/src/pointFixeErreur.sci

@@ -0,0 +1,6 @@
+function err = pointFixeErreur(x0)
+	for i=1:50
+		y = pointFixe(x0,i)
+		err(i) = // A completer
+	end
+endfunction

num/tp2/src/pointFixeVitesseConvergence.sci

@@ -0,0 +1,4 @@
+function  ratio = pointFixeVitesseConvergence(x0)
+	err = pointFixeErreur(x0);
+	ratio = // TODO
+endfunction