tp3

2026-06-02 13:38:10 +02:00
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+# TP3 : Statistiques descriptives. 
+
+  **Régressions linéaires**
+
+## Ex1
+Charger les séries statistiques $X,Y$ du fichier [notes.csv](./data/notes.csv). Ces séries représentent
+les notes des étudiants d'une même promotion à 2 épreuves différentes.
+
+Ajustement linéaire de $Y$ en $X$ : $Y=aX+b$.
+
+1. Afficher le nuage de points $X,Y$ avec la commande `plot2d`
+
+   <div align="center"><img src="./img/img1.png"></div>
+
+2. Calculer 
+   \[
+	   \overline{X},\overline{Y},\overline{XY},\overline{X^2}, \overline{Y^2}, Var(X), Var(Y), \sigma_{X,Y}
+   \]
+3. En déduire l'équation de la droite d'ajustement linéaire de $Y$ par rapport à $X$ :
+   \[
+	   a=\frac{\sigma_{X,Y}}{Var(X)}= \qquad b=\overline{Y}-a\overline{X}= \qquad \rho = \frac{\sigma_{X,Y}}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = 
+	\]   
+4. Vérifier vos calculs en utlisant la commande `reglin` de scilab 
+   ```
+   --> [a,b,sig] = reglin(X,Y)
+   ```
+   **Attention** `reglin` attend des vecteurs lignes.
+5. Tracer la droite $y=ax+b$ sur le nuage de points.
+6. Commenter la qualité de l'ajustement linéaire (justifier avec la valeur de $\rho$ ).
+
+## Ex2
+L'indice de réfraction d'un verre ($n=\frac{c}{v}$) se définit comme le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide ($c$) et dans 
+le verre ($v$). Cet indice varie selon la longueur d'onde de la lumière $\lambda$ (sa couleur) suivant une loi 
+
+\[
+	n=A + \frac{B}{\lambda^2}
+\]
+
+On a mesuré $n$ pour différentes valeurs de $\lambda$ en  angström : 
+
+<table>
+<tr><th>couleur</th><th>jaune clair</th><th>jaune foncé</th><th>vert</th><th>bleu</th><th>violet</th></tr>
+<tr><td>&lambda; </td><td>5790</td><td>5768</td><td>5461</td><td>4358</td><td>4046</td></tr>
+<tr><td>n </td><td>1.6186</td><td>1.619</td><td>1.6219</td><td>1.6399</td><td>1.6492</td></tr>
+</table>
+
+1. Saisir dans scilab les séries $X=\frac{1}{\lambda^2}$ et $Y=n$ correspondant aux données.
+2. Calculer l'ajustement linéaire de $Y$ en fonction de $X$ et en déduire les coefficients $A$ et $B$.
+3. Commenter la qualité de cet ajustement.
+4. Tracer sur un même graphique les données, et la loi donnant $n$ en fonction de $\lambda$.
+4. Estimer la veleur de $n$ pour $\lambda = 4900$ et $\lambda=2800$.
+
+## Ex3
+On soupçonne que l'acidité d'un sol (ph) soit liée à la présence d'aluminium échangeable (qae) suivant la loi 
+
+\[
+	qae = k\times A^{ph}
+\]
+
+Pour vérifier cette hypothèse, on a mesuré le $ph$  et la quantité $qae$ d'aluminium échangeable (en p.p.m) en divers points du sol :
+
+<table>
+<tr><td>ph</td><td>4.2</td><td>4.4</td><td>4.8</td><td>5.1</td><td>5.4</td><td>5.6</td><td>6.2</td></tr>
+<tr><td>qae</td><td>400</td><td>260</td><td>120</td><td>60</td><td>30</td><td>15</td><td>4</td></tr>
+</table>
+
+1. En utilisant un ajustement linéaire, estimer la valeur de $k$ et $A$.
+2. Tracer sur un même graphique les données et la loi.
+3. Estimer la quantité d'aluminium échangeable pour $ph=5$ et $ph=13$.
+
+
+## Ex4
+
+Perturbation aléatoire et coefficient de corrélation.
+
+Si $Y=X$ l'ajustement linéaire de $Y$ en $X$ doit donner exactement $Y=X$ avec un
+coefficent de corrélation $ \rho = 1 $. On veut étudier l'évolution de $ \rho $ au fur et à mesure qu'on ajoute à $X$ une perturbation aléatoire de plus en plus
+grande. Pour chaque valeur de $e=0,0.2,0.5,1$ :
+
+1. Générer les séries statistiques 
+   ```
+   --> X=rand(1,15);
+   --> Y=X+e*rand(X);
+   ```
+2. Calculer $\rho$.
+3. Calculer l'équation de la droite d'ajustement de $Y$ par rapport à $X$.
+3. Calculer l'équation de la droite d'ajustement de $X$ par rapport à $Y$.
+4. Afficher le nuage de points $(X,Y)$ et les deux droites d'ajustement linéaire.
+
+Commenter l'évolution des résultats en fonction de la valeur de $e$.