tp3

2026-06-02 13:38:10 +02:00
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 # TP3 : Statistiques descriptives. 
  **Régressions linéaires**
 ## Ex1
 Charger les séries statistiques $X,Y$ du fichier [notes.csv](./data/notes.csv). Ces séries représentent
 les notes des étudiants d'une même promotion à 2 épreuves différentes.
 Ajustement linéaire de $Y$ en $X$ : $Y=aX+b$.
 1. Afficher le nuage de points $X,Y$ avec la commande `plot2d`
   <div align="center"><img src="./img/img1.png"></div>
 2. Calculer 
   \[
 	   \overline{X},\overline{Y},\overline{XY},\overline{X^2}, \overline{Y^2}, Var(X), Var(Y), \sigma_{X,Y}
   \]
 3. En déduire l'équation de la droite d'ajustement linéaire de $Y$ par rapport à $X$ :
   \[
 	   a=\frac{\sigma_{X,Y}}{Var(X)}= \qquad b=\overline{Y}-a\overline{X}= \qquad \rho = \frac{\sigma_{X,Y}}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = 
 	\]   
 4. Vérifier vos calculs en utlisant la commande `reglin` de scilab 
   ```
   --> [a,b,sig] = reglin(X,Y)
   ```
   **Attention** `reglin` attend des vecteurs lignes.
 5. Tracer la droite $y=ax+b$ sur le nuage de points.
 6. Commenter la qualité de l'ajustement linéaire (justifier avec la valeur de $\rho$ ).
 ## Ex2
 L'indice de réfraction d'un verre ($n=\frac{c}{v}$) se définit comme le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide ($c$) et dans 
 le verre ($v$). Cet indice varie selon la longueur d'onde de la lumière $\lambda$ (sa couleur) suivant une loi 
 \[
 	n=A + \frac{B}{\lambda^2}
 \]
 On a mesuré $n$ pour différentes valeurs de $\lambda$ en  angström : 
 <table>
 <tr><th>couleur</th><th>jaune clair</th><th>jaune foncé</th><th>vert</th><th>bleu</th><th>violet</th></tr>
 <tr><td>&lambda; </td><td>5790</td><td>5768</td><td>5461</td><td>4358</td><td>4046</td></tr>
 <tr><td>n </td><td>1.6186</td><td>1.619</td><td>1.6219</td><td>1.6399</td><td>1.6492</td></tr>
 </table>
 1. Saisir dans scilab les séries $X=\frac{1}{\lambda^2}$ et $Y=n$ correspondant aux données.
 2. Calculer l'ajustement linéaire de $Y$ en fonction de $X$ et en déduire les coefficients $A$ et $B$.
 3. Commenter la qualité de cet ajustement.
 4. Tracer sur un même graphique les données, et la loi donnant $n$ en fonction de $\lambda$.
 4. Estimer la veleur de $n$ pour $\lambda = 4900$ et $\lambda=2800$.
 ## Ex3
 On soupçonne que l'acidité d'un sol (ph) soit liée à la présence d'aluminium échangeable (qae) suivant la loi 
 \[
 	qae = k\times A^{ph}
 \]
 Pour vérifier cette hypothèse, on a mesuré le $ph$  et la quantité $qae$ d'aluminium échangeable (en p.p.m) en divers points du sol :
 <table>
 <tr><td>ph</td><td>4.2</td><td>4.4</td><td>4.8</td><td>5.1</td><td>5.4</td><td>5.6</td><td>6.2</td></tr>
 <tr><td>qae</td><td>400</td><td>260</td><td>120</td><td>60</td><td>30</td><td>15</td><td>4</td></tr>
 </table>
 1. En utilisant un ajustement linéaire, estimer la valeur de $k$ et $A$.
 2. Tracer sur un même graphique les données et la loi.
 3. Estimer la quantité d'aluminium échangeable pour $ph=5$ et $ph=13$.
 ## Ex4
 Perturbation aléatoire et coefficient de corrélation.
 Si $Y=X$ l'ajustement linéaire de $Y$ en $X$ doit donner exactement $Y=X$ avec un
 coefficent de corrélation $ \rho = 1 $. On veut étudier l'évolution de $ \rho $ au fur et à mesure qu'on ajoute à $X$ une perturbation aléatoire de plus en plus
 grande. Pour chaque valeur de $e=0,0.2,0.5,1$ :
 1. Générer les séries statistiques 
   ```
   --> X=rand(1,15);
   --> Y=X+e*rand(X);
   ```
 2. Calculer $\rho$.
 3. Calculer l'équation de la droite d'ajustement de $Y$ par rapport à $X$.
 3. Calculer l'équation de la droite d'ajustement de $X$ par rapport à $Y$.
 4. Afficher le nuage de points $(X,Y)$ et les deux droites d'ajustement linéaire.
 Commenter l'évolution des résultats en fonction de la valeur de $e$.
@@ -0,0 +1,103 @@
 10.03,14.07
 13.88,12.61
 8.25,9.6
 9.67,8.41
 5,6.69
 7.7,8.65
 0,1.79
 8.3,10.63
 12.33,11.93
 11.48,10.38
 9.2,11.61
 7.35,8.53
 9.45,10.4
 6.93,7.97
 9.23,9.05
 6.22,7.98
 5.9,8.9
 15.05,13.98
 13,12.52
 7.6,7.49
 7.47,9.66
 7.03,7.97
 7.25,8.21
 9.37,12.91
 6.92,7.86
 7.32,12.84
 7.65,11.27
 7.58,11.05
 9.97,13.37
 6.18,7.99
 11.65,11.89
 7.37,8.34
 6.63,10.22
 14.82,14.82
 11.8,11.56
 7.95,6.74
 9.25,12.13
 6.73,10.95
 11.37,13.9
 4.03,6.69
 11.3,12.76
 11.1,13.44
 0.75,3.52
 8.72,8.69
 8.98,10.31
 6.37,9.43
 7.88,10.86
 8.38,6.66
 6.5,8.42
 8.35,10.12
 11.75,13.11
 6.47,9.1
 9.73,11.32
 8.33,9.67
 7.82,11.49
 7.57,8.52
 10.32,10.67
 9.12,10.33
 12.65,14.37
 6.75,10.26
 8.78,10.21
 10.53,10.11
 8.05,10.14
 12.48,13.68
 8.98,10.07
 14.93,15.12
 9.9,10.94
 11.1,13.12
 11.62,12.44
 8,9.7
 11.88,13.13
 10.2,11.98
 7.77,8.58
 7.15,8.39
 6.18,10.43
 8.65,10.9
 5.85,10.53
 8.08,8.23
 6.87,9.68
 11.6,11.76
 8.8,11.48
 5.63,7.41
 7.6,11.38
 8.73,12.08
 16.85,16.7
 12.45,12.54
 8.68,10.88
 8.3,11.68
 11.5,12.84
 8.93,11.49
 12.03,14.89
 7.43,11.13
 5.15,8.54
 9.82,10.25
 12.88,12.4
 12.12,13.45
 10.38,13.29
 8.88,12.27
 8.12,9.45
 9.03,12.55
 9.62,10.1
 9.87,9.19
 11.45,13.78