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# TP1 Calcul approché, résolution d'équation $f(x)=0$
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On s'interesse à la résolution numérique d'une équation $f(x)=0$, où de manière équivalente à
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$g(x)=x$ avec $g(x)=f(x)+x$.
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## Méthode du point fixe
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On cherche à résoudre l'équation
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$$
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x - \cos x = 0, \,\, x\in [0,1]
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$$
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Sous certaines hypothèses (cf TD), la suite définie par
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$$
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\left\{\begin{array}{l}
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x_0\in I \\
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x_{n+1} = g(x_n)
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\end{array}\right.
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$$
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converge vers un point fixe de $g$. Ici, $g(x) = \cos x\,\, , \,x\in [0,1]$.
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1. Récupérez le fichier [pointFixe.sci](src/pointFixe.sci) définissant la fonction
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```
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function y = pointFixe(x0,n)
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y = x0;
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for i = 1:n
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y = ...
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end
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endfunction
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```
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Cette fonction prend en entrée `x0` une valeur initiale de la suite et `n` le nombre d'itérations.
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La fonction doit retourner `y` valant $x_n$.
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Complétez le fichier, chargez la fonction, et vérifiez pour différentes valeurs
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initiales de $[0,1]$ que la suite converge vers le même $l = \cos l$. Que vaut $l$ ? Normalement,
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$l \approx 0.739085133215161$.
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2. Récupérez le fichier [pointFixeErreur.sci](src/pointFixeErreur.sci) définissant la fonction
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```
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function err = pointFixeErreur(x0)
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for i=1:50
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y = pointFixe(x0,i)
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err(i) = ...
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end
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endfunction
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```
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Cette fonction prend en entrée `x0` une valeur initiale de la suite. Complétez la fonction pour que `err(i)` vale
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$|e_i|$ l'erreur commise à l'étape $i$, en valeur absolue.
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3. Tracez l'évolution de l'erreur :
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```
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erreur = pointFixeErreur(0.1)
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plot2d(erreur)
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```
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3. Récupérez le fichier [pointFixeVitesseConvergence.sci](src/pointFixeVitesseConvergence.sci) qui définit la fonction
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```
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function ratio = pointFixeVitesseConvergence(x0)
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err = pointFixeErreur(x0);
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ratio = // TODO
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endfunction
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```
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Cette fonction prend en entrée `x0` une valeur initiale de la suite. Complétez le fichier pour que `ratio(i)` vale
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$\frac{|e_{i+1}|}{|e_i|}$.
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Chargez la fonction, et tracez le résultat. Vérifie-t'on que la méthode est d'ordre 1 ?
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## Dichotomie
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### Principe de la méthode
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On se donne une fonction continue $f$ sur l'intervalle $[a,b]$ sur lequel $f$
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ne s'annule qu'une fois en changeant de signe.
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Pour trouver la solution, on divise l'intervalle $[a,b]$ en deux avec son milieu
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$$
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m=\frac{a+b}{2}
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$$
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Si $f(a)$ et $f(m)$ sont de même signe, la solution cherchée se trouve dans $[m,b]$, sinon
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elle se trouve dans $[a,m]$.
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On itére alors la recherche dans le nouvel intervalle jusqu'à ce que sa longueur soit inférieur à une précision $\epsilon$ voulue.
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<div align="center">
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<img src="./img/Dichotomie.png">
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</div>
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1. Écrire une fonction
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```
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function x = dichotomie(f,a,b,eps)
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// f <-> fonction
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// a,b <-> [a,b] intervalle de départ
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// eps <-> valeur pour le test d'arret
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// x <-> valeur approché de f(x)=0
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```
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2. Tester avec
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- la fonction de l'exercice précédent,
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- $f(x)=x^2-2$ sur l'intervalle $[1,2]$. Comparer numériquement la solution approchée avec
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la solution exacte, en faisant varier $\epsilon$.
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- $g(x)=cos(x)-x^2$ sur l'intervalle $[0,1]$
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3. Modifier la fonction pour qu'elle renvoié le nombre d'itérations nécessaires. Tester avec
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$$
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x-\sin x - \frac{1}{4} = 0, \;\;x\in[\frac{1}{4},\frac{5}{4}]
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$$
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Aide Scilab
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[function](https://help.scilab.org/docs/6.1.1/fr_FR/functions.html)
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[if](https://help.scilab.org/docs/6.1.1/fr_FR/if.html)
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[while](https://help.scilab.org/docs/6.1.1/fr_FR/while.html)
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[for](https://help.scilab.org/docs/6.1.1/fr_FR/for.html)
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## Méthode de la fausse position
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### Principe de la méthode
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On prend les même hypothèses que pour la dichotomie. La méthode consiste alors à diminuer l'intervalle
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de recherche en considérant le point $c$ intersection de la corde aux extrémités de l'intervalle avec
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l'axe des abscisses.
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<div align="center">
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<img src="./img/Regula_falsi_method.png">
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</div>
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1. Calculer $c$ en fonction de $f(a),f(b),a,b$
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2. Écrire une fonction
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```
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--> function [x,n]=fausse_position(f,a,b,eps)
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// f <-> fonction
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// a,b <-> [a,b] intervalle de départ
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// eps <-> valeur pour le test d'arret
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// x <-> valeur approché de f(x)=0
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// n <-> nombre d'itérations
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```
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4. Tester avec
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\[
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x-\sin x - \frac{1}{4} = 0, \;\;x\in[\frac{1}{4},\frac{5}{4}]
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\]
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