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# TP3 : Statistiques descriptives.
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**Régressions linéaires**
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## Ex1
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Charger les séries statistiques $X,Y$ du fichier [notes.csv](./data/notes.csv). Ces séries représentent
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les notes des étudiants d'une même promotion à 2 épreuves différentes.
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Ajustement linéaire de $Y$ en $X$ : $Y=aX+b$.
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1. Afficher le nuage de points $X,Y$ avec la commande `plot2d`
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<div align="center"><img src="./img/img1.png"></div>
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2. Calculer
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\[
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\overline{X},\overline{Y},\overline{XY},\overline{X^2}, \overline{Y^2}, Var(X), Var(Y), \sigma_{X,Y}
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\]
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3. En déduire l'équation de la droite d'ajustement linéaire de $Y$ par rapport à $X$ :
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\[
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a=\frac{\sigma_{X,Y}}{Var(X)}= \qquad b=\overline{Y}-a\overline{X}= \qquad \rho = \frac{\sigma_{X,Y}}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} =
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\]
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4. Vérifier vos calculs en utlisant la commande `reglin` de scilab
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```
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--> [a,b,sig] = reglin(X,Y)
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```
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**Attention** `reglin` attend des vecteurs lignes.
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5. Tracer la droite $y=ax+b$ sur le nuage de points.
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6. Commenter la qualité de l'ajustement linéaire (justifier avec la valeur de $\rho$ ).
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## Ex2
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L'indice de réfraction d'un verre ($n=\frac{c}{v}$) se définit comme le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide ($c$) et dans
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le verre ($v$). Cet indice varie selon la longueur d'onde de la lumière $\lambda$ (sa couleur) suivant une loi
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\[
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n=A + \frac{B}{\lambda^2}
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\]
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On a mesuré $n$ pour différentes valeurs de $\lambda$ en angström :
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<table>
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<tr><th>couleur</th><th>jaune clair</th><th>jaune foncé</th><th>vert</th><th>bleu</th><th>violet</th></tr>
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<tr><td>λ </td><td>5790</td><td>5768</td><td>5461</td><td>4358</td><td>4046</td></tr>
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<tr><td>n </td><td>1.6186</td><td>1.619</td><td>1.6219</td><td>1.6399</td><td>1.6492</td></tr>
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</table>
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1. Saisir dans scilab les séries $X=\frac{1}{\lambda^2}$ et $Y=n$ correspondant aux données.
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2. Calculer l'ajustement linéaire de $Y$ en fonction de $X$ et en déduire les coefficients $A$ et $B$.
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3. Commenter la qualité de cet ajustement.
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4. Tracer sur un même graphique les données, et la loi donnant $n$ en fonction de $\lambda$.
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4. Estimer la veleur de $n$ pour $\lambda = 4900$ et $\lambda=2800$.
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## Ex3
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On soupçonne que l'acidité d'un sol (ph) soit liée à la présence d'aluminium échangeable (qae) suivant la loi
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\[
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qae = k\times A^{ph}
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\]
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Pour vérifier cette hypothèse, on a mesuré le $ph$ et la quantité $qae$ d'aluminium échangeable (en p.p.m) en divers points du sol :
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<table>
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<tr><td>ph</td><td>4.2</td><td>4.4</td><td>4.8</td><td>5.1</td><td>5.4</td><td>5.6</td><td>6.2</td></tr>
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<tr><td>qae</td><td>400</td><td>260</td><td>120</td><td>60</td><td>30</td><td>15</td><td>4</td></tr>
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</table>
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1. En utilisant un ajustement linéaire, estimer la valeur de $k$ et $A$.
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2. Tracer sur un même graphique les données et la loi.
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3. Estimer la quantité d'aluminium échangeable pour $ph=5$ et $ph=13$.
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## Ex4
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Perturbation aléatoire et coefficient de corrélation.
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Si $Y=X$ l'ajustement linéaire de $Y$ en $X$ doit donner exactement $Y=X$ avec un
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coefficent de corrélation $ \rho = 1 $. On veut étudier l'évolution de $ \rho $ au fur et à mesure qu'on ajoute à $X$ une perturbation aléatoire de plus en plus
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grande. Pour chaque valeur de $e=0,0.2,0.5,1$ :
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1. Générer les séries statistiques
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```
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--> X=rand(1,15);
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--> Y=X+e*rand(X);
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```
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2. Calculer $\rho$.
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3. Calculer l'équation de la droite d'ajustement de $Y$ par rapport à $X$.
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3. Calculer l'équation de la droite d'ajustement de $X$ par rapport à $Y$.
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4. Afficher le nuage de points $(X,Y)$ et les deux droites d'ajustement linéaire.
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Commenter l'évolution des résultats en fonction de la valeur de $e$.
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