COMPTE_RENDU.md

# Compte rendu du TD de complexité algorithmique

Ce compte rendu traite le palier 1 et l'étape 4 du TD
(page 68 de `R5A04_Algorithmique_MM.pdf`) : analyser la version initiale,
puis atteindre les objectifs avec un commit par optimisation.

Les mesures ont été réalisées le 21 octobre 2026 sur Linux x86_64, avec
GCC 16.2.1 et GNU gprof 2.47. Les sections 1 à 3 décrivent la version initiale.
Les données sont reproductibles grâce à la graine fixe du générateur.

| Paramètre | Valeur |
|---|---:|
| Transactions, `n` | 30 000 |
| Clients, `C` | 2 000 |
| Jours, `J` | 1 000 |
| Requêtes par identifiant, `Q` | 30 000 |
| Somme à rendre, `S` | 400 centimes |
| Types de pièces, `k` | 8 |

## 1. Mesurer la version initiale

Le Makefile compile le programme avec
`gcc -std=c11 -Wall -Wextra -Wpedantic -O2 banque.c -o build/banque`.
La compilation s'est terminée sans avertissement. Les commandes utilisées
pour compiler et enregistrer une mesure sont les suivantes, depuis la racine :

```bash
make -B all
(cd build && { time -p ./banque > sortie.txt; } 2> temps_avant.txt)
cat build/sortie.txt build/temps_avant.txt
```

Résultat de l'exécution mesurée :

```text
Clients distincts   : 2000
Somme des requêtes  : -2624578
Meilleure période   : jours 650 à 986 (3548830)
Paires opposées     : 5832
Façons de rendre 400 : 1960497
Empreinte           : ff68d260a7a58441
real 2.43
user 2.39
sys 0.00
```

Le temps réel est de **2,43 s**. Le temps CPU passé dans le programme est de
2,39 s ; le temps système est arrondi à 0,00 s. Cette mesure porte sur une
exécution et peut varier selon la charge de la machine.

L'empreinte obtenue est bien **`ff68d260a7a58441`**, celle attendue dans le TD.
Le rapport produit contient 6 017 lignes, soit 120 348 octets. Les résultats
sont conservés dans [sortie.txt](build/sortie.txt) et
[temps_avant.txt](build/temps_avant.txt).

## 2. Profiler et comparer aux complexités

Le profil a été généré avec les commandes suivantes :

```bash
make profile
cp build/profil/profil.txt build/profil/profil_avant.txt
```

La cible `profile` utilise une compilation en `-O0 -g -pg`, exécute le programme,
puis lance `gprof -b ./banque gmon.out` dans `build/profil`. Le profil initial
est conservé dans [profil_avant.txt](build/profil/profil_avant.txt).

Cette exécution produit également l'empreinte attendue. Les fichiers
`build/rapport.txt` et `build/profil/rapport.txt` ont été comparés : ils sont
identiques octet par octet.

### Résultats de gprof

Le tableau reprend les temps propres du profil plat : ils correspondent au
temps passé dans chaque fonction, hors fonctions appelées. Les pourcentages
portent sur environ **6,44 s de temps CPU échantillonné**.

| Fonction | Appels | Temps propre (s) | Part du temps |
|---|---:|---:|---:|
| F1 — `trier_par_montant` | 1 | 3,13 | 48,60 % |
| F6 — `rechercher_par_id` | 30 000 | 0,85 | 13,20 % |
| F7 — `nb_paires_opposees` | 1 | 0,76 | 11,80 % |
| F8 — `nb_facons_rendre` | 1 appel initial | 0,66 | 10,17 % |
| `longueur`, appelée par F10 | 6 017 | 0,41 | 6,37 % |
| F5 — `meilleure_periode` | 1 | 0,32 | 4,97 % |
| F2 — `nb_clients_distincts` | 1 | 0,11 | 1,71 % |
| F3 — `total_par_client` | 1 | 0,11 | 1,71 % |
| F4 — `total_par_jour` | 1 | 0,05 | 0,78 % |
| F9 — `categorie` | 30 000 | 0,03 | 0,39 % |
| F10 — `ajouter_ligne` | 6 017 | 0,00 | 0,00 % |

Le graphe d'appels précise que F8 effectue **266 723 738 appels récursifs**,
en plus de l'appel initial. Le compteur du profil plat ne montre que cet
appel initial. Les écarts entre les pourcentages et les temps affichés
s'expliquent par les arrondis ; quelques échantillons sont aussi attribués
à `_init`.

Le temps cumulé de F10, en incluant `longueur`, est d'environ **0,41 s**.
Son temps propre affiché à 0,00 s ne signifie donc pas que la construction
du rapport est gratuite. Plus généralement, une valeur nulle dans ce profil
ne prouve pas l'absence de coût : la période d'échantillonnage est de 0,01 s.

Ces temps ne se comparent pas directement aux 2,43 s de la première étape :
le profil utilise `-O0` et l'instrumentation `-pg`, tandis que la mesure
initiale utilise `-O2`. Le profil décrit le comportement de cette version
instrumentée, pour ces données et sur cette machine.

### Les fonctions les plus coûteuses ont-elles les pires complexités ?

**Non, pas systématiquement.** La complexité décrit la croissance du nombre
d'opérations lorsque la taille des entrées augmente. Le profil mesure le coût
d'une exécution précise. Ce coût dépend aussi des tailles effectivement
utilisées, du nombre d'appels, des données et du travail effectué à chaque
itération.

- **F1 : le tri quadratique domine ici.** Le tri à bulles effectue
  `n(n - 1) / 2`, soit **449 985 000 comparaisons de paires voisines**, avec
  des échanges de structures lorsque les transactions sont mal ordonnées.
  Sa complexité est `O(n²)` et il représente 48,60 % du temps échantillonné.

- **F5 : une complexité cubique ne suffit pas à en faire la fonction la plus
  lente.** Ses trois boucles donnent une complexité `O(J³)`, mais elles portent
  sur **1 000 jours**, alors que F1 traite 30 000 transactions. F5 effectue
  `J(J + 1)(J + 2) / 6`, soit **167 167 000 additions**, et prend environ
  0,32 s, contre 3,13 s pour F1. Les variables et les tailles diffèrent :
  comparer uniquement les exposants serait trompeur.

- **F6 : le nombre d'appels compte.** Une recherche par identifiant est en
  `O(n)` au pire cas, mais `main` l'effectue **30 000 fois**. Le coût de
  l'ensemble des recherches est donc `O(Q × n)`, soit `O(n²)` lorsque `Q = n`.
  Avec 0,85 s au total, F6 arrive devant F5 malgré sa complexité linéaire
  par appel.

- **F7 : une même classe de complexité ne donne pas un même temps.** F7
  examine elle aussi **449 985 000 paires**, en `O(n²)`, mais se limite à
  additionner deux montants, comparer le résultat à zéro et éventuellement
  incrémenter un compteur. Elle prend 0,76 s, environ quatre fois moins que
  F1, dont les itérations peuvent déplacer des transactions entières.

- **F8 : les sous-problèmes recalculés multiplient les appels.** Le rendu de
  monnaie utilise une récursion sans mémorisation et dépasse 266 millions
  d'appels récursifs. Son coût dépend de `S` et de `k`, ici 400 et 8. Malgré
  cet arbre d'appels volumineux, son temps de 0,66 s reste inférieur à celui
  du tri ; le nombre d'appels ne suffit pas non plus à classer les temps.

- **F10 : il faut tenir compte des fonctions appelées et des appels répétés.**
  Chaque ajout parcourt tout le rapport existant avec `longueur`, puis copie
  la nouvelle ligne. Pour un préfixe de longueur `p` et une ligne de longueur
  `l`, un appel coûte `O(p + l)`. Sur `m` ajouts de lignes de taille bornée,
  les parcours successifs coûtent `O(m²)`, soit `O(L²)` dans ce cas, où `L`
  est la longueur finale du rapport. Pour le rapport obtenu, les recherches
  de fin de chaîne relisent **340 702 496 caractères** de préfixes, ce qui
  explique les 0,41 s attribuées à `longueur`.

Pour cette exécution instrumentée, F1, F6 et F7 représentent ensemble
**73,60 %** du temps échantillonné : ce sont les premières pistes
d'optimisation indiquées par le profil.

## 3. Calculer les complexités de F1 à F10

Le tableau reprend l'analyse initiale de `notes.md`, avec la complexité
cyclomatique de chaque fonction. Les complexités temporelles sont données
au pire cas, en faisant varier les tailles des données, même si leurs valeurs
sont fixées par des constantes dans le programme. Les objectifs sont ceux
du tableau de la page 67 du TD ; ils restent à atteindre.

| ID | Fonction | Calcule | Actuelle | M | Objectif |
|:---:|---|---|---|:---:|---|
| F1 | `trier_par_montant` | tri des transactions | `O(n²)` | 6 | `O(n log n)` |
| F2 | `nb_clients_distincts` | clients différents | `O(n²)` | 5 | `O(n + C)` |
| F3 | `total_par_client` | solde par client | `O(n × C)` | 4 | `O(n + C)` |
| F4 | `total_par_jour` | solde par jour | `O(n × J)` | 4 | `O(n + J)` |
| F5 | `meilleure_periode` | période la plus rentable | `O(J³)` | 5 | `O(J)` |
| F6 | `rechercher_par_id` | recherche par identifiant | `O(n)` par requête | 3 | `O(1)` par requête |
| F7 | `nb_paires_opposees` | paires `a + b = 0` | `O(n²)` | 4 | `O(n log n)` |
| F8 | `nb_facons_rendre` | rendu de monnaie | `O(2^(S + k))`, borne générale | 4 | `O(S × k)` |
| F9 | `categorie` | catégorie d'une transaction | `O(1)` | 14 | `M ≤ 10` |
| F10 | `ajouter_ligne` | construction du rapport | `O(p + l)` par ajout ; `O(L²)` au total pour des lignes de taille bornée | 2 | `O(L)` au total |

`n` : transactions ; `C` : clients ; `J` : jours ; `Q` : requêtes ;
`S` : somme à rendre ; `k` : types de pièces ; `L` : longueur finale du
rapport ; `p` : longueur du rapport avant un ajout ; `l` : longueur de la
ligne ajoutée. **F5, F7 et F8** sont signalées comme les plus difficiles
dans le TD.

### Justification des complexités temporelles

- **F1 et F7** : les deux boucles parcourent `n(n - 1) / 2` paires.
  Le travail par paire est constant, d'où `O(n²)`.
- **F2** : pour chaque transaction d'indice `i`, la recherche d'un client
  déjà rencontré peut parcourir les `i` transactions précédentes.
  La somme `0 + 1 + … + (n - 1)` donne la borne `O(n²)`, atteinte si
  les clients sont tous différents (`C ≥ n`).
- **F3 et F4** : chaque client, puis chaque jour, provoque un parcours
  complet des `n` transactions : respectivement `O(C × n)` et `O(J × n)`.
- **F5** : chaque intervalle de jours est essayé, et sa somme est recalculée
  par une troisième boucle. Le nombre d'additions est
  `J(J + 1)(J + 2) / 6`, d'où `O(J³)`.
- **F6** : une recherche peut lire les `n` transactions, soit `O(n)`.
  Les `Q` recherches de `main` coûtent donc `O(Q × n)` au pire cas.
- **F8** : sans mémorisation, le coût suit la récurrence
  `T(S, k) = T(S - pièce[k - 1], k) + T(S, k - 1) + O(1)`.
  Chaque appel non terminal engendre deux appels ; chaque branche diminue
  `S` ou `k` d'au moins 1. La profondeur est donc au plus `S + k`, ce qui
  donne la borne générale `O(2^(S + k))`. Cette borne est large : pour
  `k` fixé, on peut affiner en `O(S^k)`. La notation `O(Sⁿ)` des notes
  initiales ne convient pas, car `n` désigne les transactions.
- **F9** : le nombre de tests est borné, indépendamment de `n`, d'où `O(1)`.
  L'objectif porte ici sur la complexité cyclomatique, pas sur le temps.
- **F10** : `longueur` lit les `p` caractères du rapport, puis la fonction
  copie les `l` caractères de la ligne : `O(p + l)` par ajout.
  Pour `m` lignes non vides de taille bornée, les préfixes relus ont des
  longueurs proportionnelles à `0, 1, …, m - 1` : le coût total est
  `O(m²)`, soit `O(L²)` dans ce cas.

### Calcul manuel de la complexité cyclomatique

La convention du cours (pages 31–32) est **`M = nombre de décisions + 1`**.
Chaque `if`, `else if`, `for`, `while`, ainsi que chaque opérateur `&&` ou
`||`, ajoute une décision. `else`, `return` et `break` n'en ajoutent pas.
Les décisions d'une fonction appelée se comptent dans cette fonction.

- **F1** : 2 `for` + 1 `if` + 1 `||` + 1 `&&` = 5 décisions, donc **M = 6**.
- **F2** : 2 `for` + 2 `if` = 4 décisions, donc **M = 5**.
- **F3, F4 et F7** : 2 `for` + 1 `if` = 3 décisions chacune, donc **M = 4**.
- **F5** : 3 `for` + 1 `if` = 4 décisions, donc **M = 5**.
- **F6** : 1 `for` + 1 `if` = 2 décisions, donc **M = 3**.
- **F8** : 2 `if` + 1 `||` = 3 décisions, donc **M = 4**.
- **F9** : 11 `if` ou `else if` + 1 `||` + 1 `&&` = 13 décisions,
  donc **M = 14**. C'est la plus grande valeur de F1 à F10.
- **F10** : 1 `while` = 1 décision, donc **M = 2**.
  La fonction auxiliaire `longueur` contient elle aussi un `while` et a
  **M = 2**, compté séparément.

## 4. Atteindre les objectifs

Chaque optimisation est vérifiée avant son commit : compilation avec les
avertissements du Makefile, tests de cas limites via `make test`, exécution
en `-O2`, empreinte **`ff68d260a7a58441`** et comparaison du rapport complet
avec celui de la version initiale. Les constantes, `alea`,
`generer_transactions` et le format du rapport sont conservés.

### F1 — Tri fusion

Le tri à bulles est remplacé par un tri fusion : chaque moitié est triée,
puis les deux moitiés sont fusionnées en un passage. La comparaison porte
sur le montant, puis sur l'identifiant, sans soustraction susceptible de
déborder. La récurrence `T(n) = 2T(n/2) + O(n)` donne **`O(n log n)` au pire
cas**, avec `O(n)` de mémoire auxiliaire et `O(log n)` de pile.

La complexité cyclomatique de F1 passe de **6 à 3** ; les auxiliaires
`comparer_transactions` et `trier_intervalle` ont respectivement **M = 2**
et **M = 6**. Les tests comparent le résultat à un tri de référence pour
les tailles 0 à 128, des doublons, des entrées déjà triées ou inversées,
et les bornes des types `int` et `long`.

### F2 — Tableau des clients rencontrés

Un tableau de `C` indicateurs, initialisé à zéro, remplace la recherche
dans les transactions précédentes. Une transaction marque son client à son
premier passage et incrémente le compteur. Le coût devient **`O(n + C)`**
au lieu de `O(n²)`, avec `O(C)` de mémoire. Les identifiants de clients sont
densement compris entre 0 et `C - 1`, comme le garantit le générateur.
La complexité cyclomatique passe de **5 à 3**. Les tests couvrent l'absence
de transactions, les doublons, les identifiants extrêmes et tous les clients.

### F3 — Accumulation directe par client

Après la remise à zéro des `C` soldes, un seul parcours des transactions
ajoute chaque montant dans `totaux[t[i].client]`. Les deux boucles sont
successives : **`O(n + C)`** au lieu de `O(n × C)`, avec `O(1)` de mémoire
auxiliaire en dehors du tableau de sortie. La complexité cyclomatique passe
de **4 à 3**. Les tests vérifient les clients sans transaction, les débits,
les crédits, les annulations et la réinitialisation entre deux appels.