Optimiser F8 avec un tableau de programmation dynamique

COMPTE_RENDU.md

@@ -331,3 +331,20 @@ paires sur les **97 655 tableaux** de longueur 1 à 7 à montants dans
 `[-2, 2]`, ainsi que sur une entrée vide. Ils vérifient aussi que les
 transactions d'origine restent inchangées, notamment en présence de
 doublons et de plusieurs zéros.
+
+### F8 — Programmation dynamique pour le rendu de monnaie
+
+`facons[s]` contient le nombre de façons de rendre `s` avec les pièces déjà
+traitées. Il vaut initialement 1 pour la somme nulle et 0 ailleurs. Pour
+chaque pièce, les sommes sont parcourues dans l'ordre croissant et l'on
+ajoute `facons[s - piece]` à `facons[s]`. Ce sens permet la réutilisation
+d'une pièce ; la boucle des pièces à l'extérieur compte des combinaisons,
+sans distinguer l'ordre des pièces.
+
+Chaque état est calculé une seule fois par type de pièce : **`O(S × k)`**
+pour `k ≥ 1` (et `O(S × k + S)` en incluant l'initialisation si `k = 0`),
+avec **`O(S)`** de mémoire. La récursion et ses sous-problèmes répétés
+disparaissent. F8 passe de **M = 4 à M = 5** : l'amélioration temporelle
+n'implique pas une baisse de M. Les tests comparent les résultats à la
+récursion initiale pour les sommes de -2 à 40 et de 0 à 8 types de pièces,
+y compris la somme nulle et l'absence de pièces.

banque.c

@@ -242,12 +242,20 @@ static const int PIECES[] = {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200};
 
 long nb_facons_rendre(int somme, int nb_pieces)
 {
-    if (somme == 0)
-        return 1;
-    if (somme < 0 || nb_pieces == 0)
+    if (somme < 0)
         return 0;
-    return nb_facons_rendre(somme - PIECES[nb_pieces - 1], nb_pieces) +
-           nb_facons_rendre(somme, nb_pieces - 1);
+    long *facons = calloc((size_t)somme + 1, sizeof(*facons));
+    if (facons == NULL) {
+        perror("Allocation du tableau de rendu de monnaie");
+        exit(EXIT_FAILURE);
+    }
+    facons[0] = 1;
+    for (int p = 0; p < nb_pieces; p++)
+        for (int s = PIECES[p]; s <= somme; s++)
+            facons[s] += facons[s - PIECES[p]];
+    long resultat = facons[somme];
+    free(facons);
+    return resultat;
 }
 
 /* F9 : catégorie d'une transaction (pour les statistiques) */

tests/test_banque.c

@@ -207,6 +207,23 @@ static void tester_paires(void)
     }
 }
 
+static long monnaie_reference(int somme, int nb_pieces)
+{
+    if (somme == 0)
+        return 1;
+    if (somme < 0 || nb_pieces == 0)
+        return 0;
+    return monnaie_reference(somme - PIECES[nb_pieces - 1], nb_pieces) +
+           monnaie_reference(somme, nb_pieces - 1);
+}
+
+static void tester_monnaie(void)
+{
+    for (int s = -2; s <= 40; s++)
+        for (int k = 0; k <= NB_PIECES; k++)
+            assert(nb_facons_rendre(s, k) == monnaie_reference(s, k));
+}
+
 int main(void)
 {
     tester_tri();
@@ -216,6 +233,7 @@ int main(void)
     tester_periodes();
     tester_recherches();
     tester_paires();
+    tester_monnaie();
     puts("Tests banque : OK");
     return 0;
 }