Optimiser F8 avec un tableau de programmation dynamique

2026-10-21 11:15:43 +02:00
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@@ -331,3 +331,20 @@ paires sur les **97 655 tableaux** de longueur 1 à 7 à montants dans
 `[-2, 2]`, ainsi que sur une entrée vide. Ils vérifient aussi que les
 transactions d'origine restent inchangées, notamment en présence de
 doublons et de plusieurs zéros.
+
+### F8 — Programmation dynamique pour le rendu de monnaie
+
+`facons[s]` contient le nombre de façons de rendre `s` avec les pièces déjà
+traitées. Il vaut initialement 1 pour la somme nulle et 0 ailleurs. Pour
+chaque pièce, les sommes sont parcourues dans l'ordre croissant et l'on
+ajoute `facons[s - piece]` à `facons[s]`. Ce sens permet la réutilisation
+d'une pièce ; la boucle des pièces à l'extérieur compte des combinaisons,
+sans distinguer l'ordre des pièces.
+
+Chaque état est calculé une seule fois par type de pièce : **`O(S × k)`**
+pour `k ≥ 1` (et `O(S × k + S)` en incluant l'initialisation si `k = 0`),
+avec **`O(S)`** de mémoire. La récursion et ses sous-problèmes répétés
+disparaissent. F8 passe de **M = 4 à M = 5** : l'amélioration temporelle
+n'implique pas une baisse de M. Les tests comparent les résultats à la
+récursion initiale pour les sommes de -2 à 40 et de 0 à 8 types de pièces,
+y compris la somme nulle et l'absence de pièces.