maths_2025/num/tp1

TP1 : Fonctions et dérivées numériques

Lisez et testez les exemples du guide pour débutant de scilab

Si vous avez des problèmes d'affichages, lancez scilab depuis la console avec

LIBGL_ALWAYS_SOFTWARE=1 /usr/bin/scilab

Exécuter sous Scilab.

Les commandes Scilab peuvent être tapées directement en ligne. Par exemple,

--> x = 1
--> A = ones(3,2);
--> x + A

Le caractère ; à la fin de la ligne indique si scilab affiche le résultat de la commande. Les commandes peuvent écrites dans un fichier *.sce.

1. Enregistrez les instructions suivantes dans un fichier test.sce.

clc;clear;
A = rand(3,4)

Exécutez "le fichier" avec exec("test.sce").

2. On peut définir des fonctions, et les placer dans un fichier :

// (commentaires en Scilab) Fonction carre.sci
function res = carre(x)
	res = x.*x
endfunction

3. Faites exec("carre.sci"). La fonction carre est maintenant définie sous Scilab

--> x = carre ([0,1,2,3,4])
--> y = carre(x)
--> plot2d(x,y)

Ex1 : dérivation numérique

La dérivée d'une fonction est définie par la limite

	f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

ce qui signifie que pour h assez petit

		f'(x)\approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

1. Vérifier numériquement l’affirmation précédente avec f(x) = x^2, x = 1 et h = 0.01.
2. Ecrire une fonction scilab y=derive(x,f) qui pour un tableau à 1 dimension x renvoi un tableau de même taille y tel que y(i) \approx f^{'}(x(i)) avec h = 10^{-8}.
3. Vérifier graphiquement avec la fonction f(x)=x^2 sur l'intervalle I=[-2,2]

Ex2 : tracé de tangentes

1. Écrire une fonction scilab trace_tangente(f,x0,x) qui trace la tangente au graphe de f au point x_0 dans la fenêtre courante (le découpage de l’intervalle des x étant donné dans la variable x). Indication : On utilisera une dérivation numérique pour évaluer f^{′}(x_0)

2. Vérifier graphiquement avec la fonction f(x) = x^2 et le point x_0 = 1 (faire le tracé sur l’intervalle I = [−2; 2]).

3. Ajouter un printf dans le code de la fonction trace_tangente(f,x0,x) pour afficher l’équation de la tangente dans la console.

EX3 : fonctions et fonctions réciproques

• Vérifiez la symétrie des graphes de f et f^{-1} :
• Calculez la dérivée de f^{-1} et vérifiez le résultat en traçant le graphe de la dérivée numérique avec la fonction derive)

1. exp et ln
2. tan et arctan.
3. sin et arcsin

Ex4 : calcul approché

Récupérez le fichier myF.sci qui définit la fonction suivante :

function [ y ] = myF( x )
	y = x;
	for i=1:50
	  y = sqrt(y);
	end
	for i=1:50
	  y = y.*y;
	end
endfunction

1. Charger myF dans scilab, et calculer la fonction pour quelques valeurs.
2. Que vaut en théorie la fonction myF ? Tracez-là sur [0,100].
3. Tracez l'erreur en valeur absolue entre la fonction, et sa valeur théorique.