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# TP1 : Fonctions et dérivées numériques
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> Lisez et testez les exemples du [guide pour débutant](../../scilab/Scilab_debutant_annot.pdf) de scilab
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> Si vous avez des problèmes d'affichages, lancez scilab depuis la console avec
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> ```
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> LIBGL_ALWAYS_SOFTWARE=1 /usr/bin/scilab
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> ```
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## Exécuter sous Scilab.
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Les commandes Scilab peuvent être tapées directement en ligne. Par exemple,
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--> x = 1
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--> A = ones(3,2);
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--> x + A
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```
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Le caractère `;` à la fin de la ligne indique si scilab affiche le résultat de la commande. Les commandes peuvent
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écrites dans un fichier `*.sce`.
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1. Enregistrez les instructions suivantes dans un fichier `test.sce`.
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```
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clc;clear;
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A = rand(3,4)
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```
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Exécutez "le fichier" avec `exec("test.sce")`.
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2. On peut définir des fonctions, et les placer dans un fichier :
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```
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// (commentaires en Scilab) Fonction carre.sci
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function res = carre(x)
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res = x.*x
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endfunction
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```
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3. Faites `exec("carre.sci")`.
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La fonction carre est maintenant définie sous Scilab
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```
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--> x = carre ([0,1,2,3,4])
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--> y = carre(x)
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--> plot2d(x,y)
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## Ex1 : dérivation numérique
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La dérivée d'une fonction est définie par la limite
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$$
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f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
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$$
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ce qui signifie que pour $h$ assez petit
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$$
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f'(x)\approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
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$$
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1. Vérifier numériquement l’affirmation précédente avec $f(x) = x^2, x = 1$ et $h = 0.01$.
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2. Ecrire une fonction scilab $y=derive(x,f)$ qui pour un tableau à 1 dimension $x$
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renvoi un tableau de même taille $y$ tel que $y(i) \approx f^{'}(x(i))$ avec $h = 10^{-8}$.
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3. Vérifier graphiquement avec la fonction $f(x)=x^2$ sur l'intervalle $I=[-2,2]$
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## Ex2 : tracé de tangentes
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1. Écrire une fonction scilab `trace_tangente(f,x0,x)` qui trace la tangente au graphe
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de $f$ au point $x_0$ dans la fenêtre courante (le découpage de l’intervalle des $x$ étant
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donné dans la variable $x$).
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Indication : On utilisera une dérivation numérique pour évaluer $f^{′}(x_0)$
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2. Vérifier graphiquement avec la fonction $f(x) = x^2$ et le point $x_0 = 1$ (faire le tracé
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sur l’intervalle $I = [−2; 2]$).
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3. Ajouter un printf dans le code de la fonction `trace_tangente(f,x0,x)` pour
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afficher l’équation de la tangente dans la console.
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## EX3 : fonctions et fonctions réciproques
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- Vérifiez la symétrie des graphes de $f$ et $f^{-1}$ :
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- Calculez la dérivée de $f^{-1}$ et vérifiez le résultat en traçant le graphe de la
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dérivée numérique avec la fonction `derive`)
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1. $exp$ et $ln$
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2. $tan$ et $arctan$.
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3. $sin$ et $arcsin$
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## Ex4 : calcul approché
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Récupérez le fichier [myF.sci](src/myF.sci) qui définit la fonction suivante :
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```
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function [ y ] = myF( x )
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y = x;
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for i=1:50
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y = sqrt(y);
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end
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for i=1:50
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y = y.*y;
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end
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endfunction
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```
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1. Charger `myF` dans scilab, et calculer la fonction pour quelques valeurs.
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2. Que vaut en théorie la fonction `myF` ? Tracez-là sur `[0,100]`.
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3. Tracez l'erreur en valeur absolue entre la fonction, et sa valeur théorique.
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