maths_2025/num/tp1/README.md

# TP1 : Fonctions et dérivées numériques

> Lisez et testez les exemples du [guide pour débutant](../../scilab/Scilab_debutant_annot.pdf)  de scilab

> Si vous avez des problèmes d'affichages, lancez scilab depuis la console avec 
> ```
> LIBGL_ALWAYS_SOFTWARE=1 /usr/bin/scilab
> ```

## Exécuter sous Scilab.

Les commandes Scilab peuvent être tapées directement en ligne. Par exemple,
```
--> x = 1
--> A = ones(3,2);
--> x + A
```

Le caractère `;` à la fin de la ligne indique si scilab affiche le résultat de la commande. Les commandes peuvent 
écrites dans un fichier `*.sce`.

1. Enregistrez les instructions suivantes dans un fichier `test.sce`.
```
clc;clear;
A = rand(3,4)
```

Exécutez "le fichier" avec `exec("test.sce")`.

2. On peut définir des fonctions, et les placer dans un fichier :
```
// (commentaires en Scilab) Fonction carre.sci
function res = carre(x)
	res = x.*x
endfunction
```

3. Faites `exec("carre.sci")`.
   La fonction carre est maintenant définie sous Scilab
```
--> x = carre ([0,1,2,3,4])
--> y = carre(x)
--> plot2d(x,y)
```


## Ex1 : dérivation numérique
La dérivée d'une fonction est définie par la limite 
$$
	f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$

ce qui signifie que pour $h$ assez petit

$$
		f'(x)\approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
1. Vérifier numériquement l’affirmation précédente avec $f(x) = x^2, x = 1$ et $h = 0.01$.
2. Ecrire une fonction scilab $y=derive(x,f)$ qui pour un tableau à 1 dimension $x$
renvoi un tableau de même taille $y$ tel que $y(i) \approx f^{'}(x(i))$  avec $h = 10^{-8}$.
3. Vérifier graphiquement avec la fonction $f(x)=x^2$ sur l'intervalle $I=[-2,2]$

## Ex2 : tracé de tangentes
1. Écrire une fonction scilab `trace_tangente(f,x0,x)` qui trace la tangente au graphe
de $f$ au point $x_0$ dans la fenêtre courante (le découpage de l’intervalle des $x$ étant
donné dans la variable $x$).
Indication : On utilisera une dérivation numérique pour évaluer $f^{′}(x_0)$
2. Vérifier graphiquement avec la fonction $f(x) = x^2$ et le point $x_0 = 1$ (faire le tracé
sur l’intervalle $I = [−2; 2]$).

3. Ajouter un printf dans le code de la fonction `trace_tangente(f,x0,x)` pour
afficher l’équation de la tangente dans la console.
## EX3 : fonctions et fonctions réciproques
- Vérifiez la symétrie des graphes  de $f$ et $f^{-1}$ :
- Calculez la dérivée de $f^{-1}$ et vérifiez le résultat en traçant le graphe de la
  dérivée numérique avec la fonction `derive`)
1. $exp$ et $ln$
2. $tan$ et $arctan$.
3. $sin$ et $arcsin$

## Ex4 : calcul approché
Récupérez le fichier [myF.sci](src/myF.sci) qui définit la fonction suivante :
```
function [ y ] = myF( x )
	y = x;
	for i=1:50
	  y = sqrt(y);
	end
	for i=1:50
	  y = y.*y;
	end
endfunction
```

1. Charger `myF` dans scilab, et calculer la fonction pour quelques valeurs.
2. Que vaut en théorie la fonction `myF` ? Tracez-là sur `[0,100]`. 
3. Tracez l'erreur en valeur absolue entre la fonction, et sa valeur théorique.